第25讲 最大最小问题
一、知识要点
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
二、精讲精练
【例题1】a和b是小于100的两个不同的自然数，求
a－b
的最大值。 a+b
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99
a－b99－149
的最大值是 = a+b99+150a－b49答： 的最大值是 。
a+b50练习1：
1、 设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求
2、 a和b是小于50的两个不同的自然数，且a＞b，求
3、 设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x＞y，①求②求
1
x－y
的最大值。 x+y
a－b
的最小值。 a+b
x+y
的最大值；x－y
x+y
的最小值。 x－y
【例题2】有甲、乙两个两位数，甲数 等于乙数的 。这两个两位数的差最多是多少？ 甲数：乙数= ： =7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56
答：这两个两位数的差最多是56。 练习2：
1.有甲、乙两个两位数，甲数的 等于乙数的 。这两个两位数的差最多是多少？
2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的 恰好等于乙数的 。这两个两位数的和最小是多少？
3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？
【例题3】如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？
在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。
答：这样的数对共有79个。 练习3
1、两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少？
2
2
723
2327
31045
5614
2、如果两个三位数的和是525，就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？
3、如果两个四位数的差是3456，就说这两个数组成一个数对。那么，这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？
【例题4】三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的是多少？
因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝114，即：（最大数－最小数）×中间数＝114 而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数是114÷2＝57，最小数是57－1＝56
答：最小数是56。 练习4
1、桑连续的奇数，后两个数的积与前两个数的积之差是252。三个数中最小的数是______.
2、a、b、c是从小到大排列的三个数，且a－b＝b－c，前两个数的积与后两个数的积之差是280。如果b＝35，那么c是_____。
6510
3、被分数 ， ， 除得的结果都是整数的最小分数是______。
71421
3