数列的求和问题
1．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是方程x－bnx＋2＝0的两根，则b10等于( ) A．24 C．48 答案 D
B．32 D．64
2
n
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2
n＋1
＋m，且a1，a4，a5－2成等差数列，bn＝
anan－
an＋1－
，数列
2 017
{bn}的前n项和为Tn，则满足Tn>的最小正整数n的值为( )
2 018A．11 B．10 C．9 D．8 答案 B 解析 根据Sn＝2
n＋1
??m＋4，n＝1，
＋m可以求得an＝?n?2，n≥2，?
所以有a1＝m＋4，a4＝16，a5＝32， 根据a1，a4，a5－2成等差数列，
可得m＋4＋32－2＝32，从而求得m＝－2， 所以a1＝2满足an＝2， 从而求得an＝2(n∈N)， 所以bn＝＝
nn*
nanan－
an＋1－
＝2
nnn＋1－－
11
－n＋1， 2－12－1
11111111
所以Tn＝1－＋－＋－＋…＋n－n＋1＝1－n＋1，
3377152－12－12－1令1－
12 017n＋1>，整理得2>2 019，
2－12 018
n＋1
解得n≥10.
1n＋1nn*
3．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝，＝＋2(n∈N)，则S100等于( )
2an＋1anA．2－C．2－
4949100 B．2－99 225151100 D．2－99 22
答案 D 解析 由则－n＋1nn＋1nnn＝＋2，得－＝2， an＋1anan＋1annn－1n－1n－1n－2n－2211＝2，－＝2，…，－＝2，
anan－1an－1an－2a2a1
ana1
n112n－1n将各式相加得－＝2＋2＋…＋2＝2－2，
11
又a1＝，所以an＝n·n，
22
111
因此S100＝1×＋2×2＋…＋100×100，
22211111
则S100＝1×2＋2×3＋…＋99×100＋100×101， 22222111111两式相减得S100＝＋2＋3＋…＋100－100×101，
22222251?1?99?1?100
所以S100＝2－??－100·??＝2－99.
2?2??2?
押题依据 数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是《考试大纲》中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循． 答案 1
解析 因为an＝n2n所以Sn＝?＝1－n2
n＋2n＋
＝
n＋－n11
＝n－1－n2nn＋2n2n＋
n，
1?01－11?＋?11－21?＋…＋?n1
－1－n????
?2×12×2??2×22×3??2n2n＋1n＋
， <1，
? ??
1
由于1－n2n＋
所以M的最小值为1.
9．已知数列{an}，a1＝e(e是自然对数的底数)，an＋1＝an(n∈N)． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(2n－1)ln an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)由a1＝e，an＋1＝an知，an>0，
3
3
*
所以ln an＋1＝3ln an，
数列{ln an}是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以ln an＝3
n－1
，an＝e3
n－1
(n∈N)．
n－1
*
(2)由(1)得bn＝(2n－1)ln an＝(2n－1)·3，
Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，①
3Tn＝1×3＋3×3＋…＋(2n－3)×3
1
2
3
1
2
n－1
＋(2n－1)×3，②
n－1
n①－②，得－2Tn＝1＋2(3＋3＋3＋…＋3
n)－(2n－1)×3
n3－3nn＝1＋2×－(2n－1)×3＝－2(n－1)×3－2.
1－3所以Tn＝(n－1)×3＋1(n∈N)．
10．在等比数列{an}中，首项a1＝8，数列{bn}满足bn＝log2an(n∈N)，且b1＋b2＋b3＝15. (1)求数列{an}的通项公式；
?1?3
(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，又设数列??的前n项和为Tn，求证：Tn<. 4?Sn?
*
n*
(1)解 由bn＝log2an和b1＋b2＋b3＝15， 得log2(a1a2a3)＝15， ∴a1a2a3＝2，
设等比数列{an}的公比为q， ∵a1＝8，∴an＝8q2
15
15
n－1
，
∴8·8q·8q＝2，解得q＝4， ∴an＝8·4
n－1
，即an＝2
2n＋1
(n∈N)．
*
(2)证明 由(1)得bn＝2n＋1， 易知{bn}为等差数列，
Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2＋2n，
1
则＝Snn1??2??
1n＋
1?1?1
＝?－?， 2?nn＋2?
Tn＝??1－?＋?－?＋…＋?－
324nn＋2??
1??11????
?1
?
1??
??
11?1?3
－＝?－?，
2?2n＋1n＋2?3∴Tn<.
4
11．在公差不为0的等差数列{an}中，a2＝a3＋a6，且a3为a1与a11的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式；
2