【课 题】：圆锥曲线定点定值·专题研究 【学习目标】：学会在研究解析几何问题时根据具体情况灵活技巧地去处理问题. 【学习过程】：高考试卷中的解析几何题，是干扰学生得高分的“瓶颈”．三种情况：①无法取得适当的运算途径，往往是只做第一问，得到4～5分，心安理得；②期望突破第二问，但运算途径不合理，越算越复杂，耽误时间，耗时耗精力，运气好的话，再得到2～3分；③思路正确，途径合理，但演算过程中稍不注意出一点点错，前功尽弃，严重影响整体解题心情。与期望得高分往往距离较大。圆锥曲线定点定值问题往往运算量大，占用时间长，这就对学生的运算能力、处理数据能力提出了较高要求，也要注意一些运算技巧，力争快速地准确寻找解题突破口，争取节省宝贵时间，提高准确率.同时.不得不指出，千万不要过于依赖技巧，一定要重视平时运算基本功的培养. 探究1：“特殊”探求.
x2y23??1．E、F是椭圆C上的两个动点，点A(1，)是椭圆上的一个定点．如果直 已知椭圆C：432线AE、AF的斜率互为相反数，试证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
解：①“特殊”探讨：取点F(2，0)(即右顶点)?kAF??333 ?kAE??直线AE的方程：y?x．2223?y?x3? 由??x??1?y?? 22?3x2?4y2?12?30?(?)y?yE2?1． ?F?xF?xE2?(?1)232?kEF②一般性的证明：设过点A(1，)的直线方程为：y?m(x?1)?3 23?3?y?m(x?1)?由?（3+4m2）x2+4m(3?2m)x?4(?m)2?12?0． 2?2?3x2?4y2?12?34(?m)2?12 设方程的两根为x1、xA，则x1·xA＝x1?x1＝2． 分别用“k”“?k”替换“m” 23?4m9322?6k?6k?4(?k)?124k2?12k?332， y?kx??k＝＝，xE?2EE2224k?323?4k4k?39?6k2?6k?24k?12k?32．所以直线EF的斜率 xF＝y，＝F4k2?34k2?399(?6k2?6k?)?(?6k2?6k?)y?yE22?1．即直线EF的斜率为定值，其值为1． ?F=xF?xE22(4k2?12k?3)?(4k2?12k?3)kEF练习：
x2y20),长轴长与短轴长的比值是2:3. 1、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1(?1，ab(1)求椭圆的方程（）
（2）过F1作两直线m，n交椭圆与A,B,C,D四点，若m?n，求证：
11?为定值 ABCDx2y27??1（2）特殊位置验证，然后证明之，答案 解析：（1）43122x2y2（2，2）2、已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，点在C上. 2ab（1）求C的方程
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，直线OMl与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明：的斜率与直线l的斜率的乘积为定值
x2y21??1（2）特殊位置验证，然后证明之，答案? 解析：（1）8423x2y23、已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.
2ab（1）求C的方程
（2）设A,B为椭圆C上的任意两点，O为坐标原点，且OA?OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值
25x2?y2?1（2）特殊位置验证，然后证明之，答案解析：（1）
54小结：曲线定点、定值问题常用方法步骤：先用特殊点、特殊位置、特殊直线、极端位置、极限位置、
特殊值、特殊图形，求出定点、定值；然后有目标地进行运算，后续运算仅仅是一个填空程序 .圆锥曲线定点定值问题往往运算量大，占用时间长，而“对偶运算”、“对称运算”、“合情推理”等是强力支撑．可以大大降低运算量，减轻思维负担.
探究3：先局部后整体，有序进行重组. 过双曲线mx－y＝m的右顶点A，作两条斜率分别为k1、k2的直线AM、AN，交双曲线于M、
2222N．其中k1·k2＝－m2，k1＋k2?0，且k1＞k2，求直线MN的斜率为定值，并求这个定值．
分析：题设条件是k1·k2＝－m，提示了解题顺序．先局部地分别求出k1、k2，然后重组为k1·k2＝－m．
可以预见：一定能消除参数m.
解：设过右顶点A(1，0)的直线方程：y?k(x?1)，
222
?m2x2?y2?m2 由方程组：?? (m2?k2)x2?2kx?(k2?m2)?0
?y?k(x?1)m2?k12m2?k2m2?k2 ?x1·x2＝－2．由x1＝1(？)?x2＝－2?xM＝－2?xN＝－222m?km?km?k12m2?k2【注：用的是“对偶”运算】． 22m?k2k12?k1k2k1?k2k2?k1x 又m＝－k1·k2，代入上式：xM＝－＝，＝． Nk2?k1?k1k2?k12k1?k22 所以yM＝k1(xM?1)＝－
k1k2， 【注：用的是“由局部→整体的重组”下的“整体消参”】
k1?k2 由对称性：yN＝－
k2k1?yM＝yN?MN∥x轴，得直线MN的斜率k?0.
k1?k2
小结：解析几何题目的解题顺序应该是：先局部，后整体，有序进行重组，整体消参. 而“对偶运算”、“对称运算”、
“合情推理”等是强力支撑．可以大大降低运算量，减轻思维负担，节省宝贵时间，达到“事半功倍”、“设而
不求”的效果 .
①本题是“对偶运算”的经典题目，反复“复制”运算结果，节约了大量的时间；
②在“对偶运算”的帮助下,“代点、代入”与“由局部→整体的重组”有效合成为一体；
2 ③本题可以先取m＝4，k1＝1，k2＝－4，求出直线MN的斜率k后，再有目标地运算． 探究4：“代点配凑、代入消参”的解题定式.
（09·宣武）已知P、Q是椭圆T：x＋2y?1上两个不同的点，满足|OP|＋|OQ|＝ 求证：|KOP·KOQ|是定值，并求这个定值． 解：设P(x1，y1)、Q(x2，y2)? (x1＋y1)＋(x2＋y2)＝ ①代点：x1＋2y1?1，x2＋2y2?1
2222222222223， 23； 21212121232x1＋(x1＋2y12)]＋[x2＋(x2＋2y2)]＝； 22222121121322 (x1＋)＋(x2＋)＝?x1＋x2＝1．
22222 ②配凑：[
112(1?x12)?(1?x2)yyyy222 ③代入消参：(KOP·KOQ)＝(12)＝＝2 22x1x2x1x2xx21212222