(1)在两个个体域中都解释为?xF(x)，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为?xG(x)，在（a）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解:
(1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数
命题符号化为: ??x(?F(x)?H(x)) (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人
命题符号化为: ??x(F(x)?H(x)) 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快.
(3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解:
(1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ?x?y((F(x)?G(y))?H(x,y))
(2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ??y(G(y)??x(F(x)?H(x,y))) 9.给定解释I如下:
(a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素a ?=0.
(c) 特定函数f(x,y)=x?y,x,y?D.
?(x,y):x 说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值: 答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果x (2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么x （a） 个体域D=N(N为自然数集合). （b） D中特定元素a?=2. x,y) =x+y,g （c） D上函数f(?(x,y)=xy. ?(x,y):x=y. （d） D上谓词F 说明下列各式在I下的含义，并讨论其真值. (1) xF(g(x,a),x) (2) xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x) 答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0. (2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0. 11. 判断下列各式的类型: (1) F(x,y)→(G(x,y)→F(x,y)). (3) xyF(x,y)→xyF(x,y). 解:(1)因为 p?(q?p)??p?(?q?p)?1 为永真式； 所以 F(x,y)→(G(x,y)→F(x,y)).为永真式； (3)取解释I个体域为全体实数 F(x,y)：x+y=5 所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5，前件真； 后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5，后件假，] 此时为假命题 再取解释I个体域为自然数N， F(x,y)：:x+y=5 所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5，前件假。此时为假命题。 此公式为非永真式的可满足式。 13. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。 (1) x(F(x)∨G(x)) (2) x(F(x)∧G(x)∧H(x)) 解:(1)个体域:本班同学 F(x)：x会吃饭, G(x)：x会睡觉.成真解释 F(x)：x是泰安人,G(x)：x是济南人.（2）成假解释 (2)个体域:泰山学院的学生 F(x)：x出生在山东,G(x):x出生在北京,H(x):x出生在江苏,成假解释. F(x)：x会吃饭,G(x)：x会睡觉,H(x)：x会呼吸. 成真解释. 第五章部分课后习题参考答案 5.给定解释Ｉ如下: (a)个体域D={3,4}; f(3)?4,f(4)?3 (b)f(x)f为 (c)F(x,y)为F(3,3)?F(4,4)?0,F(3,4)?F(4,3)?1. 试求下列公式在Ｉ下的真值. (1)?x?yF(x,y) (3)?x?y(F(x,y)?F(f(x),f(y))) 解:(1) ?x?yF(x,y)??x(F(x,3)?F(x,4)) (2) ?x?y(F(x,y)?F(f(x),f(y))) 12.求下列各式的前束范式。 (1)?xF(x)??yG(x,y) (5)?x1F(x1,x2)?(H(x1)???x2G(x1,x2)) (本题课本上有错误) 解:(1) ?xF(x)??yG(x,y)??xF(x)??yG(t,y)??x?y(F(x)?G(t,y)) (5) ?x1F(x1,x2)?(H(x1)???x2G(x1,x2)) 15.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明: (1) 前提: ?xF(x)??y((F(y)?G(y))?R(y)),?xF(x) 结论: ?xR(x) (2) 前提: ?x(F(x)→(G(a)∧R(x))), xF(x) 结论:x(F(x)∧R(x)) 证明(1) ①?xF(x) 前提引入 ②F(c) ①EI ③?xF(x)??y((F(y)?G(y))?R(y)) 前提引入 ④?y((F(y)?G(y))?R(y)) ①③假言推理 ⑤(F(c)∨G(c))→R(c)) ④UI ⑥F(c)∨G(c) ②附加 ⑦R(c) ⑤⑥假言推理 ⑧?xR(x) ⑦EG (2) ①?xF(x) 前提引入 ②F(c) ①EI ③?x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入 ④F(c)→(G(a)∧R(c)) ③UI ⑤G(a)∧R(c) ②④假言推理 ⑥R(c) ⑤化简 ⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取引入 ⑧?x(F(x)∧R(x)) ⑦EG 第六章部分课后习题参考答案 5.确定下列命题是否为真： （1）??? 真 （2）??? 假 （3）??{?} 真 （4）??{?} 真 （5）｛a,b｝?｛a,b,c,｛a,b,c｝｝ 真 （6）｛a,b｝?｛a,b,c,｛a,b｝｝ 真 （7）｛a,b｝?｛a,b,｛｛a,b｝｝｝ 真 （8）｛a,b｝?｛a,b,｛｛a,b｝｝｝ 假 6．设a,b,c各不相同，判断下述等式中哪个等式为真: （1）｛｛a,b｝，c,?｝ =｛｛a,b｝,c｝ 假 （2）｛a ,b,a｝=｛a,b｝ 真 （3）｛｛a｝，{b}｝=｛｛a,b｝｝ 假 （4）｛?，｛?｝，a,b｝=｛｛?,｛?｝｝,a,b｝ 假 8．求下列集合的幂集： （1）｛a,b,c｝ P(A)={ ?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} （2）｛1，｛2，3｝｝ P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } （3）｛?｝ P(A)={ ?, ｛?｝ } （4）｛?，｛?｝｝ P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } 14．化简下列集合表达式： （1）（A?B）?B ）-（A?B） （2）（（A?B?C）-（B?C））?A 解: (1)（A?B）?B ）-（A?B）=（A?B）?B ）?～（A?B） =（A?B）?～（A?B）)?B=??B=? （2）（（A?B?C）-（B?C））?A=（（A?B?C）?～（B?C））?A =（A?～（B?C））?（（B?C ）?～（B?C））?A =（A?～（B?C））???A=（A?～（B?C））?A=A 18．某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。求不会打球的人数。 解: 阿A={会打篮球的人}，B={会打排球的人}，C={会打人} |A|=14, |B|=12, |A?B|=6,|A?C|=5,| A?B?C|=2, |C|=6,C?A?B 如图所示。 25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5 不会打球的人共5人 21.设集合A＝{{1，2}，{2，3}，{1，3},{?}},计算下列表达式： （1）?A （2）?A （3）??A （4）??A 解: （1）?A={1，2}?{2，3}?{1，3}?{?}={1，2，3,?} （2）?A={1，2}?{2，3}?{1，3}?{?}=? （3）??A=1?2?3??=? （4）??A=?27、设A,B,C是任意集合，证明 (1)(A-B)-C=A- B?C 网球的