晶胞中原子 的坐标参数
110,0,0;,,0;221111,0,;0,,2222
0,0,0;111,,222
4R3
0,0,0;211,,332 a?b?2Rc?46R3
晶胞参数与
原子半径的关系
a?22R
a?点阵形式 面心立方 体心立方 简单六方
综上所述，A1，A2和A3型结构是金属单质的三种典型结构形式。它们具有共性，也有差异。尽管A2型结构与A1型结构同属立方晶体，但A2型结构是非最密堆积，堆积系数小，且空隙数目多，形状不规则，分布复杂。搞清这些空隙的情况对于实际工作很重要。A1型和A3型结构都是最密堆积结构，它们的配位数、球与空隙的比例以及堆积系数都相同。差别是它们的对称性和周期性不同。A3型结构属六方晶系，可划分出包含两个原子的六方晶胞。其密置层方向与c轴垂直。而A1型结构的对称性比A3型结构的对称性高，它属立方晶系，可划分出包含4个原子的面心立方晶胞，密置层与晶胞体对角线垂直。A1型结构将原子密置层中C6轴所包含的C3轴对称性保留了下来。另外，A3型结构可抽象出简单六方点阵，而A1型结构可抽象出面心立方点阵。
【8.9】画出等径圆球密置双层图及相应的点阵素单位，指明结构基元。
解：等径圆球的密置双层示于图9.9。仔细观察和分子便发现，作周期性重复的最基本的结构单位包括2个圆球，即2个圆球构成一个结构基元。这两个球分布在两个密置层中，如球A和球B。
图9.9
密置双层本身是个三锥结构，但由它抽取出来的点阵却为平面点阵。即密置双层仍为二维点阵结构。图中画出平面点阵的素单位，该单位是平面六方单位，其形状与密置单层的点阵素单位一样，每个单位也只包含1个点阵点，但它代表2个球。
等径圆球密置双层是两个密置层作最密堆积所得到的唯一的一种堆积方式。在密置双层结构中，圆球之间形成两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。前者由3个相邻的A球和1个B球或3个相邻的B球和1个A球构成。后者则由3个相邻的A 球和3个相邻的B球构成。球数:四面体空隙数:八面体空隙数=2:2:1
【8.10】金属铜属于A1型结构，试计算（111）、（110）和（100）等面上铜原子的堆积系数。
解：参照金属铜的面心立方晶胞，画出3个晶面上原子的分布情况如下（图中未示出原子的接触情况）：
（111）面是密置面，面上的所有原子作紧密排列。该面还是的铜原子的堆积系数等于三角形单位中球的总最大截面积除以三角形的面积。三角形单位中包含两个半径为R的球
1??13??3???6?，所以该面上原子的堆积系数为： ?2
2??R2???0.906 2R?23R23
【8.11】 金属铂为A1型结构，立方晶胞参数a?392.3pm，Pt的相对原子质量为195.0，试求金属铂的密度及原子半径。
解：因为金属铂属于A1型结构，所以每个立方晶胞中有4个原子。因而其密度为：
4M4?195.0ggmol?1D?3?aNA?392.3?10?10cm?3?6.022?1023mol?1?3
cm ?21.45ggA1型结构中原子在立方晶胞的面对角线方向上互相接触，因此晶胞参数a和原子半径R的
关系为a?22R，所以：
R?
a22?392.3pm?138.7pm22
【8.12】 硅的结构和金刚石相同，Si的共价半径为117pm，求硅的晶胞参数，晶胞体积
和晶胞密度。 解：硅的立方晶胞中有8个硅原子，它们的坐标参数与金刚石立方晶胞中碳原子的坐标参数相同。硅的共价半径和晶胞参数的关系可通过晶胞对角线的长度推导出来。设硅的共价半径为rSi，晶胞参数为a，则根据硅原子的坐标参数可知，体对角线的长度为8rSi。而体对角线的长度又等于3a，因而有8rSi?3a，所以：
a? 晶胞体积为：
88rSi??117pm?540pm33
3?8?V?a3???117pm??1.58?108pm3?3?
晶体密度为：
D?
8?8.29ggmol?13金刚石、硅和灰锡等单质的结构属立方金刚石型（A4型），这是一种空旷的结构型式，
原子的空间占有率只有34.01%。
?8??1023?1?117?10cm?6.022?10mol???3?
?3?2.37ggcm
【8.13】已知金属钛为六方最密堆积结构，钛原子半径为146pm，试计算理想的六方晶胞参数及晶体密度。 解：晶胞参数为：
a?b?2R?2?146pm?292pm 晶体密度为：
c?446R?6?146pm?477pm33
D??2Mabcsin120??NA
2?47.87ggmol?12?292?10
?10cm???477?10?10cm??3?6.022?1023mol?12
?4.51ggcm?3?12.70g?cm【8.14】 铝为面心立方结构，密度为，试计算它的晶胞参数和原子半径。用
CuKa射线摄取衍射图，33衍射线的衍射角是多少？
解：铝为面心立方结构，因而一个晶胞中有4个原子。由此可得铝的摩尔质量M、晶胞参
3ND?4M/aNA，所以，晶胞参数：aA数，晶体密度D及Avogadro常数之间的关系为：
?4M???4?26.98ggmola??????323?1?DN2.70ggcm?6.022?10mol?? ?A?
?404.9pm
面心立方结构中晶胞参数a与原子半径R的关系为a?22R，因此，铝的原子半径为：
13?113R?根据Bragg方程得：
a22?404.9pm?143.2pm22
sin???2dhkl
将立方晶系面间距dhkl，晶胞参数a和衍射指标hkl间的关系代入，得：
sin??
?h2?k2?l22a?154.2pm??3?3?322122?2?404.9pm?0.9894
??81.7?
【8.15】 金属纳为体心立方结构，a?429pm，计算：
（a） Na的原子半径； （b） 金属钠的理论密度； （d） （110）的间距。 解：
（a） 金属钠为体心立方结构，原子在晶胞体对角线方向上互相接触，由此推得原子半径r和晶胞参数a的关系为：
代入数据得：
r?13a4
3?429pm?185.8pm4
（b） 每个晶胞中含两个钠原子，因此，金属钠的理论密度为：
r?
2M2?22.99ggmol?1D?3?aNA?429?10?10cm?3?6.022?1023mol?1?3
d?110?（c）
?0.967ggcm
a429pm???303.4pm2221/22?1?1?0?
【8.16】 金属钽为体心立方结构，a?330pm，试求： （a） Ta的原子半径；
（b） 金属钽的理论密度（Ta的相对原子质量为181）；
（c） （110）面的间距
（d） 若用??154pm的X射线，衍射指标为220的衍射角?的数值是多少？ 解：
（a） 钽原子的半径为：
r?（b） 金属钽的理论密度为：
133a??330pm?143pm44
2M2?181ggmol?1D?3?aNA?330?10?10cm?3?6.022?1023mol?1cm ?16.7gg（c）（110）点阵面的间距为： 1?1?0
（d）根据Bragg方程得： d?110??a222
?3?330pm?233pm2
sin?220?
?2d?220???12?d?110?2??d?110??154pm?0.6598330pm/2
【8.17】金属镁属A3型结构，镁的原子半径为160pm。
（a） 指出镁晶体所属的空间点阵型式及微观特征对称元素； （b） 写出晶胞中原子的分数坐标；
（c） 若原子符合硬球堆积规律，计算金属美的摩尔体积；
（d） 求d002值。 解：
（a）镁晶体的空间点阵型式为简单六方。两个镁原子为一结构基元，或者说一个六方晶胞即为一结构基元。这与铜、钠、钽等金属晶体中一个原子即为一结构基元的情况不同。这要从结构基元和点阵的定义来理解。结构基元是晶体结构中作周期性重复的最基本的单位，它必须满足三个条件，即每个结构基元的化学组成相同、空间结构相同，若忽略晶体的表面效
应，它们的周围环境也相同。若以每个镁原子作为结构基元抽出一个点，这些点不满足点阵的定义，即不能按连接任意2个镁原子的矢量进行平移而使整个结构复原。 镁晶体的微观特征对称元素为63和6。 （b）晶胞中原子的分数坐标为：
2110,0,0;,,332。
（c）一个晶胞的体积为abcsin120?，而1mol晶体相当于NA/2个晶胞，故镁晶体的摩尔
体积为：
NAN43abcsin120??A?2R?2R?6R?2232
?42NAR3?42?6.022?1023mol?1??160?10?10cm?mol ?13.95cmg3?1343?RNA1mol3 也可按下述思路计算：镁原子的真实体积为，而在镁晶体中原子的堆积
系数为0.7405，故镁晶体的摩尔体积为：
4343?RNA/0.7405???160pm??6.022?1023mol?1/0.74053 3
3?1mol ?13.95cmg1d002?d0012（d），对于A3型结构，d001?c，故镁晶体002衍射面的面间距为：
11142d002?d001?c??6R?6?160pm?261.3pm22233
用六方晶系的面间距公式计算，所得结果相同。
【8.18】Ni是面心立方金属，晶胞参数a?352.4pm，用CrKa辐射（??229.1pm）拍粉末图，列出可能出现的铺线的衍射指标及其衍射角?的数值。
?h解：对于点阵型式属于面心立方的晶体，可能出现的衍射指标的平方和
4，8，11，12，16，19，20，24等。但在本题给定的实验条件下：
2?k2?l2?为3，
sin???2ah2?k2?l2?22229.1pmh2?k2?l22?352.4pm
2 ?0.3251h?k?l 222222当h?k?l?11时，sin??1，这是不允许的。因此，h?k?l只能为3，4和8，即只能出现111，200和220衍射。相应的衍射角为：
?111?arcsin?111?arcsin0.32513?34.26??200?arcsin?200
?220?arcsin?220???arcsin?0.32514??40.55??arcsin?0.32518??66.82?
【8.19】已知金属Ni为A1型结构，原子间接触距离为249.2pm，试计算： （a） Ni的密度及Ni的立方晶胞参数；