2018版高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列(二) 学案 新人教B版必修5

2.3.1 等比数列(二)

学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.

知识点一 等比数列通项公式的推广

思考1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形: an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d. 等比数列也有类似变形吗?

思考2 我们知道等差数列的通项公式可以变形为an=dn+a1-d,其单调性由公差的正负确定;等比数列的通项公式是否也可做类似变形?

梳理 公比为q的等比数列{an}中,an=a1q如下:

??a1>0,当?

?q>1???a1<0,当?

?q>1?

n-1

=·q.{an}的单调性由a1,q,q-1共同确定

a1

qn

??a1<0,或?

?0<q<1???a1>0,或?

?0<q<1?

时,{an}是递增数列;

时,{an}是递减数列;

q<0时,{an}中的项交替为正值或负值; q=1时,{an}是常数列.

知识点二 由等比数列衍生的等比数列

思考 等比数列{an}的前4项为1,2,4,8,下列判断正确的是 (1){3an}是等比数列;(2){3+an}是等比数列;

1

(3){}是等比数列;(4){a2n}是等比数列.

an梳理 (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项:ak1,ak2,ak3,…,akn,…,若

k1,k2,k3,…,kn,…成等差数列,那么ak1,ak2,ak3,…,akn,…是等比数列.

1bn(2)如果{an},{bn}均为等比数列,那么数列{},{an·bn},{},{|an|}仍是等比数列.

anan

知识点三 等比数列的性质

思考 在等比数列{an}中,a5=a1a9是否成立?a5=a3a7是否成立?an=an-2an+2(n>2,n∈N+)是否成立?

梳理 一般地,在等比数列{an}中,若m+n=s+t,则有am·an=as·at(m,n,s,t∈N+). 若m+n=2k,则am·an=ak(m,n,k∈N+).

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类型一 等比数列性质的应用 例1 已知数列{an}为等比数列.

(1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值;

(2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式.

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反思与感悟 在等比数列的有关运算中,常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法,往往是建立a1,q的方程组,这样解起来很麻烦,通过本例可以看出:结合等比数列的性质进行整体变换,会起到化繁为简的效果.

跟踪训练1 (1)在递增等比数列{an}中,a1a9=64,a3+a7=20,求a11的值. (2)已知数列{an}成等比数列.若a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.

类型二 灵活设项求解等比数列

例2 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.

反思与感悟 合理地设出所求数中的三个,根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键,

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