关于防盗窗钢管下料最优方案的数学模型
摘要
本文主要是解决在工程施工过程中钢管下料的最优方案，建立相关的数学优化模型，及在遇到原料不能满足我们的生产需要的时候如何建立一个比较优化的方案并能切实可行，并能满足双方的利益最大。
对上述问题的分析，将钢管下料问题简单的分为圆形和方形钢管分别下料，使问题更简化。同时考虑到原料的价格对我们的选择方案的影响，通过查阅有关资料得知原料的价格与长度成正比。对圆形钢管原料和订购商所需规格钢管的材料总长的分析可得，原料足以满足所需，主要考虑的是生产厂家在满足订单生产的条件下，使自己所使用的钢管原料的总费用最少，同时满足剩余废料最省作为最终目标。同理分析得出出方形管原料总长不足以满足订单的生产需要，故我们应先满足订单中规格中米数较长的量。因为从厂家的利益考虑，规格米数较长额单价更高；而对于订购商来说规格较长的量比规格短的量用途大。故我们例举出针对圆形或方形的所有可行的下料方案，把用于该方案的钢管数为设定相应的未知数x，同时根据已知条件构建了相应的约束条件，建立了本文中的线性优化模型，最终使用lingo.12计算的出如下结果：
一、圆形钢管分割方案：
对模型一、二分析得出最终使用模型二，具体数据如下：（分析详见正文） 4米 6米 总合 模式 模式三 模式七 模式八 模式十 1.5 0 500 16000 0 16500 1.8 1378 0 8000 2622 12000 1.2 0 0 8000 0 8000 原料用量 689 125 8000 874 9688 9688 8999 原料总用量 689 余料 275.6 0 0 524.4 800
二、方形钢管分割方案： 模型具体结果如下： 4米 6米 总合 模式 模式三 模式五 模式八 模式九 1.4m 0 0 1600 600 2200 1.7m 4000 0 0 200 4200 原料用量（根） 0 2000 2000 1000 800 800 0 200 2800 4000 3m 原料总用量余料（根） （米） 2000 1200 0 2000 160 20 4000 1380
【关键词】 线性规划 费用最省 余料最省 LINGO12.0
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一．问题的提出
某不锈钢装饰公司承接了一住宅小区的防盗窗安装工程，为此购进了一批型号为304的不锈钢钢管，分为方形管和圆形管两种，具体数据如下表： 方形管 圆形管 规格 25×25×1.2(mm) Φ19×1.2(mm) 长4m 5000根 2000根 长6m 9000根 2000根 根据小区的实际情况，需要截取钢管的规格与数量如下： 圆形管 规格 数量（根） 1.5m 1.8m 1.2m 方形16500 12000 8000 管 规格 数量（根） 1.4m 1.7m 3m 6000 4200 2800 根据上述的实际情况建立数学模型，寻找经济效果最优的下料方案，使得厂家在满足订购商的订单的同时还能使自己所用的原料费最少。
二．问题的分析
通过题目可知，要求我们在题目所给定的条件下，找寻最佳下料方案，使满足各种需要的前提下所使用的原材料的费用、所使用的量和所剩的余料最省。
圆形钢管
原材料的总长：4*5000+6*9000=74000(米)
订单产品的总长：1.5*16500+1.8*12000+1.2*8000=55950（米） 方形钢管
原材料的总长：4*2000+6*2000=20000(米)
订单产品的总长：1.4*6000+1.7*4200+3*2800=23940（米）
通过计算，分析得出问题中的圆形钢管原料足够多，在使用时主要考虑所使用的原材料的费用、使用量和切割之后的余料最少；而方形管的原材料明显不能满足生产需要，此时应首先考虑切割不同长度的钢管的优先问题。
通过查阅网络资料可得网络上对于304不锈钢钢管的单价是50元/公斤，而相应的 不锈钢管重量公式:
[(外径-壁厚)*壁厚]*0.02491=kg/米(每米的重量)
又因为在我们的原材料中，规格都为Φ19×1.2(mm)，所以可得每米的重量都是一定的，故我们可以得到钢管的单价与原材料的长度成正比，即：
米*k=单价（k为每米的单价）
且6米管的单价是6*k，4米的单价是4*k，所以6米管的单价是4米管的6*k/4*k=1.5倍
因此在处理这个问题时对于生产厂家而言，应考虑所生产的成品规格越长利益越大；对于订购商而言，规格长度越大材料的使用性越大。通过上诉分析可得，应该在原
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有材料使用完的情况下先满足规格为3米的钢管，其次满足1.7米的钢管，再次生产1.4米的钢管。然而此类问题属于数学中最优解的求得问题，这是典型的线性优化，故该问题可以建立线性优化方程解决。
三、模型假设与符号说明
3.1 模型假设
1、假设钢管切割过程中无原料损耗或损坏；
2、假设所生产的各种规格的钢管不能通过焊接产生； 3、假设同种钢管采用的切割模式数量不限； 4、假设每种钢管的单价相同且与长度成正比；
3.2 符号说明
xi…………………………………………………表示采用第i种模式下切割的钢管数
dij…………………………………………………表示第i中模式下的第j种规格下的根数 ci…………………………………………………表示第i种模式下的余料
aj…………………………………………………表示第j种规格的需求量
y1…………………………………………………表示使用4米的原料所以使用的根数 y2…………………………………………………表示使用6米的原料所以使用的根数 y3…………………………………………………表示生产的1.5米的钢管总数 y4…………………………………………………表示生产的1.8米的钢管总数 y5…………………………………………………表示生产的1.2米的钢管总数
五．模型的建立与求解
针对题目的要求我们将钢管下料方案分为圆形钢管和方形钢管两大类，是问题简单化，并建立相应的数学模型。首先根据题目的已知条件可得要先给4米和6米不同规格的原材料进行分割，因此产生了不同的切割模式，选取最佳的切割模式才是所要求的下料方案。其中切割所剩的余料必须小于所需切割的最小长度，在条件满足的不同组合的情况下，得知圆形管的切割方案有17种，其中4米管有6种，6米管有11种；方形钢管的切割方案有11种，其中4米管有4种，6米管有7种。具体切割组合如下：
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