第7讲 立体几何中的向量方法
1．空间向量与空间角的关系
(1)两条异面直线所成角的求法(a，b分别为l1，l2的方向向量)
范围 求法 a与b的夹角β (0，π) cos β＝l1与l2所成的角θ ?0，π? ??2??|a·b|cos θ＝|cos β|＝ a·b |a||b||a||b|(2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为
φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝
|e·n|
． |e||n|
(3)二面角的求法
a．如图①，AB，CD是二面角αlβ两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小
θ＝〈AB，CD〉．
→→
b．如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的
大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉． 2．点到平面的距离的求法
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝→|AB·n|
. |n|
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )
?π??π?(4)两异面直线夹角的范围是?0，?，直线与平面所成角的范围是?0，?，二面角的范围
2?2???
是[0，π]．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
(教材习题改编)已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是( ) A.?
33??3
，，－? 33??3
B.?
33??3
，－，?
33??3
C.?－
?
?333?，，? 333?
D.?－
?
?333?，－，－? 333?
→→
解析：选D.因为A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，所以AB＝(－1，1，0)，AC＝(－1，0，1)． 经验证，当n＝?－
??333?
，－，－?时， 333?
n·AB＝
所以?－
→
3333→
－＋0＝0，n·AC＝＋0－＝0. 3333
333?
，－，－?是平面ABC的一个单位法向量． 333?
??
正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为( ) πA. 6πC. 4解析：选A.
以C为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：A(2，0，0)，C1(0，0，3?3?
22)．点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2?，，22?.
?22?→
所以AC1＝(－2，0，22)，
B.π 3
πD. 12
AC2＝?－，
→
?1?23?，22?， 2?
设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则cos θ＝π?π?又θ∈?0，?，所以θ＝. 2?6?
AC1·AC2
→→
|AC1||AC2|
→→
＝
1＋0＋83
＝.
23×32
已知正方体ABCD-A1B1C1D1如图所示，则直线B1D和CD1所成的角为________．
→→→
解析：以A为原点，AB、AD、AA1分别为x、y、z轴的正方向建立空间直→→
角坐标系，设正方体棱长为1，则CD1＝(－1，0，1)，B1D＝(－1，1，－1＋0－1→→
1)，cos〈CD1，B1D〉＝＝0，所以两直线所成的角为90°.
2×3答案：90°
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC，则二面角C-PB-D的大小为________．
解析：以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设PD＝DC＝1，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)．
→→
所以DP＝(0，0，1)，PC＝(0，1，－1)， →
DB＝(1，1，0)，BC＝(－1，0，0)，
设平面PBD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， →→
由n1·DP＝0，n1·DB＝0得
??z1＝0，? ?x＋y＝0，11?
→
令x1＝1，得n1＝(1，－1，0)．
设平面PBC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
??y2－z2＝0，→→
由n2·PC＝0，n2·BC ＝0得?
?－x2＝0，?
令y2＝1得n2＝(0，1，1)． 设二面角C-PB-D的大小为θ，则 |n1·n2|1
cos θ＝＝，
|n1||n2|2所以θ＝60°.