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函数的有关概念

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 经典例题透析

类型一、函数概念 (1)

1.下列各组函数是否表示同一个函数?

(2)

(3) (4)

思路点拨:对于根式、分式、绝对值式,要先化简再判断,在化简时要注意等价变形,否则等号不成立. 解:(1) (2)

对应关系不同,因此是不同的函数; 的定义域不同,因此是不同的函数;

(3) (4)

的定义域相同,对应关系相同,因此是相同的函数;

定义域相同,对应关系相同,自变量用不同字面表示,仍为同一函数.

注意:

1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零,

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点

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必须同时具备)

2.求下列函数的定义域(用区间表示).

(1); (2); (3).

思路点拨:由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.

解:(1)

的定义域为x2-2≠0,

(2);

(3).

总结升华:使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零;②偶次根式中,被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时,要使这多个式子对同一个自变量x有意义,必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集,因此,要列不等式组求解.

2.值域 : (先考虑其定义域)

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题,虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后,值域就完全确定了,但求值域还是特别要注意讲究方法,常用的方法有:

观察法:通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数的图象的\最高点\和\最低点\,观察求得函数的值域;

配方法:对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次函数的值域方法求函数的值域;

判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于一些\分式\函数等;此外,使用此方法要特别注意自变量的取值范围;

换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.

求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,除了上述常用方法外,还有最值法、数形结合法等.总之,求函数的值域关键是重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约.

4. 求值域(用区间表示):

(1)y=x2-2x+4;

思路点拨:求函数的值域必须合理利用旧知识,把现有问题进行转化. 解:(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,∴值域为[3,+∞);

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(2);

(3);

(4),∴函数的值域为(-∞,1)∪(1,

+∞).

3. 函数图象知识归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 描点法: 图象变换法

常用变换方法有三种 平移变换 伸缩变换 对称变换

4.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)?B(象)” 对于映射f:A→B来说,则应满足:

(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

5. 下列对应关系中,哪些是从A到B的映射,哪些不是?如果不是映射,如何修改可以使其

成为映射?

(1)A=R,B=R,对应法则f:取倒数;

(2)A={平面内的三角形},B={平面内的圆},对应法则f:作三角形的外接圆; (3)A={平面内的圆},B={平面内的三角形},对应法则f:作圆的内接三角形.

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