中南大学网络教育(高起专)高等数学习题答案

10.解:由(?1)(1?cos)?1?cosnana,而limn??n1?cosaaa2sin22()22n?lim2n?lim2n?a?0,

n??n??1112n2n2n2???a11a由正项级数的比较判别法知,?(1?cos)与?2同时敛散。而?2收敛,故?(1?cos)

nnn?1n?1nn?1nn?1?收敛,从而原级数绝对收敛。

11.解:记un?(?1)?n?111?,则un??vn。

ln(n?1)n?1显见

?n?1???1去掉首项后所得级数?vn仍是发散的,由比较法知?un发散,从而?un发散。nn?1n?2n?1??1n1是Leibniz型级数,它收敛。即?(?1)收敛,从而原级数条件收

lnnln(n?1)n?2又显见敛。

?(?1)n?1n?112.解:??liman?1n(n?1)?lim?1,所以R?1。

n??an??(n?1)(n?2)n?(?1)n又当x??1时,级数成为?,都收敛,故级数的收敛域为[?1,1]。

n?1n(n?1)xn设级数的和函数为S(x),即S(x)??。

n?1n(n?1)?xn?1再令f(x)?xS(x)??,

n?1n(n?1)??xn1n?1?逐项微分得 f?(x)??,f??(x)??x

n1?xn?1n?1?? x 0f??(x)dx??1dx??ln(1?x) 01?x xf?(x)?f?(0)?f?(x)??ln(1?x) f?(0)?0

? x 0f?(x)dx???ln(1?x)dx??xln(1?x)0?? 0 xxxdx 01?x x??xln(1?x)?x?ln(1?x)?(1?x)ln(1?x)?x

故 f(x)?x?(1?x)ln(1?x),又显然有S(1)?1,

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?1?x1?1?xln(1?x) x?0,?故 S(x)??0 x?0

?1 x?1??13.解:(1)原方程可化为

ydy1?y22(当y?1),两边积分得?1?y2??x2?c,即??2xdx,

x2?1?y2?c为通解。当y2?1时,即y??1,显然满足原方程,所以原方程的全部解

为x2?1?y2?c及y??1。

yy?y?(2)当x?0时,原方程可化为y???1???,令?u,得y?xu,原方程化为

xx?x?2xu??1?u2,解之得arcsinu?lnx?c;

y?y?当x?0时,原方程可化为y????1???,类似地可解得arcsinu??lnx?c。

x?x?综合上述,有 arcsin2y?lnx?cx?0 ??x??lnx?cx?0?cosxdx?1?cosxdxdx?c??sinx?1?ce?sinx sin2xe(3)由公式得 y?e?????2?

四、求解题: 1.解:(1)

123789(2)

123?6?0

456?0?30?6?12D4?12?13.?10?(?16)??1603451

2.解:

解法一:先求矩阵A的逆矩阵。

?10?1210??1210???因为 ?AI???????01???1001??0211??012?1?1? 2?? Word 文档

?0所以 A??1?2??1?1??0?11? 且X?AB??1??22???1??30??0?2?? 1???02???3 1?????2??2??100?2??1230??1230?解法二:因为 ?AB???????? ??3011????1002??0232?2???0?2?所以 X??3?

1???2?3.解:因为

?10?1100??10?1???011[AI]???314010??????100001???00100??100?310???010???101???00111??41?1? ?101??00?001??001??1???4??????????1?1所以 A?41?1 且 AB?41?1?5?13

????????????101????101?????4?????5??4.解:(1)P(BA)=P(B)–P(AB) 因为A,B互斥,故P(AB)=0,而由已知P(B)=

11,∴ P(BA)=P(B)= 22(2)∵ P(A)=

11111,由A?B知:P(AB)=P(A)=,∴ P(BA)=P(B)–P(AB)=–= 33236(3)?P(AB)=

1113 ∴P(BA)=P(B)–P(AB)=–= 82885.解:设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20,12,24件的箱子,A1、A2分别表示第一、二

次选出的为一等品,依题意,有

P(A1)=P(B1)P(A1|B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3)=?31201121247?????=0.467 35033034015P(A1A2)=?P(Bi)P(A1A2|Bi)?i?1120191121112423????????=0.220 350493302934039

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