第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其分布 习题1设(X,Y)的分布律为 求a.解答：由分布律性质111112????a??1,可知解得a= p?1?ij6918399i,j习题2(1)2. 设?X,Y?的分布函数为F?x,y?，试用F?x,y?表示： (1)P{a
习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f?x,y?? k(6?x?y),0?x?1,?0 O 其它 2?y (1)确定常数k;(2)求P{X<1,Y<3};(3)求P{X<1.5};(4)求P{X+Y≤4}. 解答(1)由??-???????f?x,y?dxdy?1,确定常数k.?1320?k?6?x?y?dxdy?k?240(6?2x)?8k?1所以k=1/8. (2)P?X?1,Y?3??(3) P?X?1.5???0dx?42136?x?y?dy? ?288?1.50dx?20127?6?x?y?dy? 8324?x2(4) P?X?Y?4???dx?12?6?x?y?dy? 83习题8已知X和Y的联合密度为f?x,y?? cxy,0?x?1,?0?y O 其它 1试求：(1)常数c;(2)X和Y的联合分布函数F(x,y). 解答：(1)由于1???-???????f?x,y?dxdy?c?yx1100?xydxdy?c/4,c?4 xy00(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1; 设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=??-???f?u,v?dudv?4?udu?vdv?x2y2 设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4?x0udu?ydy?x2 01最后，设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4?10xdx?vdv?y2 0y函数F(x,y)在平面各区域的表达式(见课后答案) 习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f?x,y?? 求边缘概率密度fY?y? 解答： 4.8y(?2x)?,0?xx1,? O 其它 ?y fY ??f?x,y?dx= ??y? ????y04.8y?2?x?dx,?0y?12.4y(4y?y2),0?y?1= O 其它 2 / 13
O 其它 习题10 设(X,Y)在曲线y?x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度. 解答： 区域G的面积A?1?0(x?x2)dx?1/6,由题设知(X,Y)的联合分布密度为 f?x,y?? 从而fX(x)?26,0?x?1,x??yO 其它 x?????f(x,y)?6?2dy?6(x?x2),0?x?1 xx即fX(x)? ??6(x?x2),?0?x O 其它yy 1fY(y)????f(x,y)?6x?dx?6(y?y),0?y?1 6(y?y),0?y?1 O 其它 即fY(y)? 3.2 条件分布与随机变量的独立性 习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为 (1)求Y的边缘分布律；(2)求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0};(3)判定X与Y是否独立？ 解答：(1)由(X,Y)的分布律知，Y只取0及1两个值 .P{Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}=7/15+7/30=0.7 171P{Y=1}=P{X?i,Y?1}???0.3 3015i?x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23,P{y=10(2)P{y=0∣∣x=0}=13. (3)已知P{x=0,y=0}=715, 由(1)知P{y=0}=0.7, 类似可得P{x=0}=0.7. 因为P{x=0,y=0}≠P{x=0}?P{y=0}, 所以x与y不独立. 习题2将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y. 据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为 (1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律. 解答：(1)边缘分布律为 ?X 5152535455 pk 0.180.150.350.120.20 对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}. 对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得P{Y=j}. Y 5152535455 pk 0.280.280.220.090.13 3 / 13