第四节 基本不等式及其应用
考点 基本不等式的应用
1．(2013·重庆，3)（3－a）（a＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A．9
9B. 2
C．3
D.32
2
解析 ∵－6≤a≤3，∴3－a≥0，a＋6≥0. 而(3－a)＋(a＋6)＝9， 由基本不等式得：
(3－a)＋(a＋6)≥2（3－a）（a＋6）， 即9≥2（3－a）（a＋6），
93
∴（3－a）（a＋6）≤，并且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号．
22答案 B
xy222
2．(2013·山东，12)设正实数x，y，z满足x－3xy＋4y－z＝0，则当取得最大值时，zx12
＋－的最大值为( )
yzA．0
2
B．1
2
9C. 4
D．3
解析 由x－3xy＋4y－z＝0
22
x2－3xy＋4y22x·4y－3xy得＝1≥，
zz即
xy22
≤1，当且仅当x＝4y时成立， z又x，y为正实数，故x＝2y.
此时将x＝2y代入x－3xy＋4y－z＝0得z＝2y， 1?221212?所以＋－＝－2＋＝－?－1?＋1，
2
2
2
xyzyy?y?
1212
当＝1，即y＝1时，＋－取得最大值为1，故选B.
yxyx答案 B
3．(2012·福建，5)下列不等式一定成立的是( ) 12
A．lg(x＋)>lg x(x>0)
4
1
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
sin xC．x＋1≥2|x|(x∈R) D.
1
>1(x∈R) x＋1
22
1?21?解析 取x＝，则lg?x＋?＝lg x，故排除A；
4?2?3
取x＝π，则sin x＝－1，故排除B；
2取x＝0，则答案 C
14
4．(2011·重庆，7)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
1
＝1，故排除D.应选C. x＋1
2
ab7A. 2
B．4
9C. 2
D．5
4ab?14??14?解析 ∵2y＝2?＋?＝(a＋b)?＋?＝5＋＋，
?ab??ab?
ba又∵a>0，b>0， ∴2y≥5＋24ab·＝9，
ba9
∴ymin＝，当且仅当b＝2a时“＝”成立．
2答案 C
5．(2011·上海，15)若a，b∈R，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是( ) A．a＋b>2ab B．a＋b≥2ab 112C.＋>
2
2
abab D.＋≥2
baab解析 由ab>0，可知a、b同号．当a<0，b<0时，B、C不成立；当a＝b时，由不等式的性质可知，A不成立，D成立． 答案 D
6．(2014·上海，5)若实数x，y满足xy＝1，则x＋2y的最小值为________．
解析 ∵x＋2y≥2x·2y＝22xy＝22，当且仅当x＝2y时取“＝”，∴x＋2y的最小值为22. 答案 22
1|a|
7．(2013·天津，14)设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．
2|a|b2
2
222
2
2
2
a＋b解析 因为a＋b＝2，所以2
a＋b2
·
21|a||a|ab|a|a＋＝＋＝＋＋≥＋2|a|b2|a|b4|a|4|a|b4|a|
b|a|a·＝＋1， 4|a|b4|a|
a51|a|5a31|a|3当a>0时，＋1＝，＋≥；当a<0时，＋1＝，＋≥，当且
4|a|42|a|b44|a|42|a|b4
仅当b＝2|a|时，等号成立．
因为b>0，所以原式取最小值时b＝－2a. 又a＋b＝2，所以a＝－2时，原式取得最小值． 答案 －2
2??21??1
8．(2011·湖南，10)设x，y∈R，且xy≠0，则?x＋2??2＋4y?的最小值为________．
?y??x?
解析 ∵x，y∈R且xy≠0， 1122
∴(x＋2)·(2＋4y)
yx＝5＋
1
xy22＋4xy
1
2＝4xy，即xy＝±
22
22
≥5＋2×2＝9，当且仅当答案 9
x2y2
时，取得最小值9. 2
9．(2011·浙江，16)设x，y为实数，若4x＋y＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________． 33?2x＋y?2解析 依题意有(2x＋y)＝1＋3xy＝1＋×2x×y≤1＋·??，
22?2?
2
22
52102
得(2x＋y)≤1，即|2x＋y|≤. 85当且仅当2x＝y＝答案
210
5
10210时，2x＋y达到最大值. 55