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习题5
5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程：
2mg?T2?2ma┄①
2T1?mg?ma┄② (T2?T)r?J?┄③ (T?T1)r?J?┄④
Ta?r? ，J?mr2/2┄⑤
111联立，解得：a?g，T?mg 。
485-2．如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上，设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作
用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：??m，在杆上取l一小质元dm??dx，有微元摩擦力：
df??dmg???gdx，
微元摩擦力矩：dM???gxdx，
考虑对称性，有摩擦力矩：
1M?2???gxdx??mgl；
4t0d?，有：??Mdt??Jd?， 0?0dt?l11??mglt??ml2?0，∴t?0。
3?g4121ml2， 或利用：?Mt?J??J?0，考虑到??0，J?12?l有：t?0。
3?g5-3．如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，
l20（2）根据转动定律M?J??J绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为
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M、半径为R ,其转动惯量为MR2/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，
下落速度与时间的关系。
解：受力分析如图，可建立方程：
mg?T?ma┄①
TR?J?┄②
1mR2┄③ 22mgMmg联立，解得：a?，T?，
M?2mM?2mvt2mgtdv2mg考虑到a?，∴?dv??。 dt，有：v?00M?2mdtM?2m5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对O2轴的转动惯量J?MR/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？
a?R? ，J?解一：
分别对人、滑轮与重物列出动力学方程
Mg?T1?MaA人
T2?MMg?aB物 44T1R?T2R?J?滑轮
由约束方程: aA?aB?R?和J?MR/4,解上述方程组 得到a?2g. 2解二：
选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重 物上升的速度，注意到u为匀速，
du?0，系统对轴的角动量为： dt页眉内容
v13而力矩为：M??MgR?MgR?MgR，
44dL3d3g根据角动量定理M?有：MgR?(MvR?MuR)，∴a?。
dt4dt225-5．计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。
3m解：设球的半径为R，总重量为m，体密度??， 34?R考虑均质球体内一个微元：dm??rsin?drd?d?， 由定义：考虑微元到轴的距离为rsin?
2J??(rsin?)2dm，有：
1?2???r55R0?[??(1?cos2?)dcos?]?0?2mR2。 55-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k?40N/m，当??0时弹簧无形变，细棒的质量m?5.0kg，求在??0的位置上细棒至少应具有多大的角速度?，才能转动到水平位置？
解：以图示下方的三角桩为轴，从??0~??90时， 考虑机械能守恒，那么： ??0时的机械能为：
0l11mg?(重力势能)?（ml2）?2(转动动能)，
2231??900时的机械能为：kx2
2l112122有：mg??（ml）??kx
2232222?1根据几何关系：(x?0.5)?1.5?1，得：??3.28rad?s
5-7．如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若
盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：
（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解：（1）设虚线位置的C点为重力势能的零点，
下降过程机械能守恒， 有：mgR?113J?2 ，而J?mR2?mR2?mR2 222页眉内容
∴??4g vc?R??3R4Rg 3vA?2R??16Rg 37mg，方向向上。 35-8．如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕
12水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l和l．轻杆原来
33静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度v0与杆下端小球m作对
1心碰撞，碰后以v0的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。
22 （2）Fy?mg（重力）?mR?（向心力）?解：根据角动量守恒，有： 有：(l?2221l)??v0l?v0l 9333v∴??0
2l2495-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为
1MR2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 2122解：（1）利用角动量守恒：mvR?MR??mR?
22mv得：??；
(2m?M)RM（2）选微分dm??rdrd?，其中：面密度??，
?R22122∴由Mf??t?J???有：?MgR??t?(MR?mR)??0，
322?M?2m?R? 知：?t?4?Mg页眉内容
将??2mv3mv代入，即得：?t? 。
2?Mg?M?2m?R5-10．有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放
在滑动摩擦系数为?的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后
vv的速度分别为v1和v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。
1m1l2) 3vv解：由碰撞时角动量守恒，考虑到v1和v2方向相反，以逆时针为正向，有：
(已知棒绕O点的转动惯量J?3m2(v1?v2)1 m2v1l?m1l2??m2v2l，得：??3m1l又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：
m11d?，有： gxdx??m1gl，利用?Mf?J0l2dt12mld?1t02l?2m2(v1?v2)3t??，得：。 dt???0??13?g?m1g?m1gl225-11．如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg?m，半径为7cm；物体的质量为5kg，用一细绳与劲度系数k?200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮
Mf???l轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 解：（1）设弹簧的形变量为x，下落最大距离为xmax。 由机械能守恒：
12kxmax?mgxmax，有： 2xmax?2mg?0.49m； k1211kx?mv2?J?2?mgx， 222（2）当物体下落时，由机械能守恒：