大学物理 刚体力学基础习题思考题及答案

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习题5

5-1.如图,一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为mr/2,将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解:受力分析如图,可建立方程:

2mg?T2?2ma┄①

2T1?mg?ma┄② (T2?T)r?J?┄③ (T?T1)r?J?┄④

Ta?r? ,J?mr2/2┄⑤

111联立,解得:a?g,T?mg 。

485-2.如图所示,一均匀细杆长为l,质量为m,平放在摩擦系数为?的水平桌面上,设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动,试求:(1)作

用于杆的摩擦力矩;(2)经过多长时间杆才会停止转动。 解:(1)设杆的线密度为:??m,在杆上取l一小质元dm??dx,有微元摩擦力:

df??dmg???gdx,

微元摩擦力矩:dM???gxdx,

考虑对称性,有摩擦力矩:

1M?2???gxdx??mgl;

4t0d?,有:??Mdt??Jd?, 0?0dt?l11??mglt??ml2?0,∴t?0。

3?g4121ml2, 或利用:?Mt?J??J?0,考虑到??0,J?12?l有:t?0。

3?g5-3.如图所示,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,

l20(2)根据转动定律M?J??J绳子的质量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为

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M、半径为R ,其转动惯量为MR2/2,试求该物体由静止开始下落的过程中,

下落速度与时间的关系。

解:受力分析如图,可建立方程:

mg?T?ma┄①

TR?J?┄②

1mR2┄③ 22mgMmg联立,解得:a?,T?,

M?2mM?2mvt2mgtdv2mg考虑到a?,∴?dv??。 dt,有:v?00M?2mdtM?2m5-4.轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴光滑,滑轮的质量为M/4,均匀分布在其边缘上,绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端,而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物,如图。已知滑轮对O2轴的转动惯量J?MR/4,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求B端重物上升的加速度?

a?R? ,J?解一:

分别对人、滑轮与重物列出动力学方程

Mg?T1?MaA人

T2?MMg?aB物 44T1R?T2R?J?滑轮

由约束方程: aA?aB?R?和J?MR/4,解上述方程组 得到a?2g. 2解二:

选人、滑轮与重物为系统,设u为人相对绳的速度,v为重 物上升的速度,注意到u为匀速,

du?0,系统对轴的角动量为: dt页眉内容

v13而力矩为:M??MgR?MgR?MgR,

44dL3d3g根据角动量定理M?有:MgR?(MvR?MuR),∴a?。

dt4dt225-5.计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。

3m解:设球的半径为R,总重量为m,体密度??, 34?R考虑均质球体内一个微元:dm??rsin?drd?d?, 由定义:考虑微元到轴的距离为rsin?

2J??(rsin?)2dm,有:

1?2???r55R0?[??(1?cos2?)dcos?]?0?2mR2。 55-6.一轻弹簧与一均匀细棒连接,装置如图所示,已知弹簧的劲度系数k?40N/m,当??0时弹簧无形变,细棒的质量m?5.0kg,求在??0的位置上细棒至少应具有多大的角速度?,才能转动到水平位置?

解:以图示下方的三角桩为轴,从??0~??90时, 考虑机械能守恒,那么: ??0时的机械能为:

0l11mg?(重力势能)?(ml2)?2(转动动能),

2231??900时的机械能为:kx2

2l112122有:mg??(ml)??kx

2232222?1根据几何关系:(x?0.5)?1.5?1,得:??3.28rad?s

5-7.如图所示,一质量为m、半径为R的圆盘,可绕O轴在铅直面内转动。若

盘自静止下落,略去轴承的摩擦,求:

(1)盘到虚线所示的铅直位置时,质心C和盘缘A点的速率; (2)在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解:(1)设虚线位置的C点为重力势能的零点,

下降过程机械能守恒, 有:mgR?113J?2 ,而J?mR2?mR2?mR2 222页眉内容

∴??4g vc?R??3R4Rg 3vA?2R??16Rg 37mg,方向向上。 35-8.如图所示,长为l的轻杆,两端各固定质量分别为m和2m的小球,杆可绕

12水平光滑固定轴O在竖直面内转动,转轴O距两端分别为l和l.轻杆原来

33静止在竖直位置。今有一质量为m的小球,以水平速度v0与杆下端小球m作对

1心碰撞,碰后以v0的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度。

22 (2)Fy?mg(重力)?mR?(向心力)?解:根据角动量守恒,有: 有:(l?2221l)??v0l?v0l 9333v∴??0

2l2495-9.一质量均匀分布的圆盘,质量为M,半径为R,放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?),圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时,圆盘静止,一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求:(1)子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度;(2)经过多少时间后,圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为

1MR2,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 2122解:(1)利用角动量守恒:mvR?MR??mR?

22mv得:??;

(2m?M)RM(2)选微分dm??rdrd?,其中:面密度??,

?R22122∴由Mf??t?J???有:?MgR??t?(MR?mR)??0,

322?M?2m?R? 知:?t?4?Mg页眉内容

将??2mv3mv代入,即得:?t? 。

2?Mg?M?2m?R5-10.有一质量为m1、长为l的均匀细棒,静止平放

在滑动摩擦系数为?的水平桌面上,它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞,设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后

vv的速度分别为v1和v2,如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。

1m1l2) 3vv解:由碰撞时角动量守恒,考虑到v1和v2方向相反,以逆时针为正向,有:

(已知棒绕O点的转动惯量J?3m2(v1?v2)1 m2v1l?m1l2??m2v2l,得:??3m1l又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得:

m11d?,有: gxdx??m1gl,利用?Mf?J0l2dt12mld?1t02l?2m2(v1?v2)3t??,得:。 dt???0??13?g?m1g?m1gl225-11.如图所示,滑轮转动惯量为0.01kg?m,半径为7cm;物体的质量为5kg,用一细绳与劲度系数k?200N/m的弹簧相连,若绳与滑轮间无相对滑动,滑轮

Mf???l轴上的摩擦忽略不计。求:(1)当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离;(2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 解:(1)设弹簧的形变量为x,下落最大距离为xmax。 由机械能守恒:

12kxmax?mgxmax,有: 2xmax?2mg?0.49m; k1211kx?mv2?J?2?mgx, 222(2)当物体下落时,由机械能守恒:

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