南京工程学院(10/11)高等数学AII试卷(A)
一、单项选择题 (本大题共5小题, 每题3分, 共15分)
??????? 1. 已知两点M1(2, 2,2), M2 (1, 3, 0), 则向量M1M2与x, y, z轴三个方向余弦依次为
( )
A ?1/2, ?1/2, ?2/2； B ?1/2, 1/2, ?2/2； C 1/2, ?1/2, ?2/2； D 1/2, ?1/2, 2/2．
f(x0?2h,y0)?f(x0?h,y0) 2. 设f (x, y) 在点 (x0, y0) 处的偏导数存在, 则lim= ( )
h?0h A fx (x0, y0)； B 2 fx (x0, y0)； C 2 fy (x0, y0)； D 3 fx (x0, y0) . 3. 设f (x, y) 在D: x2 + (y?2)2 ? 4上连续, 则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 A.?d??0( )
?4sin?04cos?f(rcos?,rsin?)rdr; f(rcos?,rsin?)rdr; 1的敛散性是 n
C.?d??0?n?1?0??D. ?d??B.
0202?d??4sin?04cos?f(rcos?,rsin?)rdr; f(rcos?,rsin?)rdr.
0 4. 级数?nsin
? ( )
A 绝对收敛； B. 条件收敛； C 发散； D 无法判断．
( )
5. 设?是锥面z?x2?y2被柱面x2 + y2 = 2所割下的有限部分, 则??(xy?yz?z2)dS? A. 2? ; B. 22? ; C. 42? ;
二、填空题 (本大题共7小题, 每小题3分, 共21分)
1. 两平面x?ky +2z ?6 = 0与2 x +y +4z ?6 = 0相互垂直，则k = . 2. 已知曲面x = y2 + z2, 则在点 (2,?1, 1) 处的法线方程为 .
?z? . 3. 已知方程x2 + y2 + z2 ?4 = 0，则?y(?1)n2n4. 幂级数?nx的收敛半径R = .
n?15?D. 82?.
5. 设 ? 为曲线x = t, y = t 2 , z = t 3从点A(0, 0, 0)到B(1, 1, 1)的一段弧，则?ydx?zdy? __________ .
?6. 设 ? 是由 |x| = 1, |y| = 1/2, |z| = 1/3所围的闭区域，则???(x?1)dxdydz= .
????x,0?x?1bsinnx7. 设函数f(x)??的正弦级数展开式为?n，?bnsinnx的和函数为s(x), 则 n?1n?1?1,1?x??s(?)= ______________.
2
三、解答题 (本大题共5小题, 每小题8分, 共40分)
?2zy1. 设z?f(,x)，求dz和.
?x?yx?2x?y?z?02. 求过点M (1, 2, 1)且与直线L1: ?和L2:
x?y?z?0?D??x?2y?z?1?0平行的平面方程. ?x?y?z?1?0?3. 确定常数A, 使得??Asin(x?y)dxdy?1，其中D是由直线y = x, y = 2x, x = ?/2所围的闭区域.
?1ex?e?x4. 将函数f(x)?展开成x的幂级数，并求?的值.
2n?1(2n?1)!5. 计算?(x2?2xy?y2)dx?(x2?2xy?y2)dy，其中L是由点O沿曲线y=sin x到点A(?, 0)的弧段.
L
四、综合应用题(本大题共3小题, 满分24分)
1. (8分) 求二元函数z?x2?4y2?9在区域x2?y2?4上的最大值、最小值.
2. (10分) 计算I???ydydz?xdzdx?z2dxdy, 其中?为锥面z?x2?y2被z = 1, z?2所截部分的外侧.
?3. (6分) 设正项级数?un收敛, 证明级数?n?1?un收敛.
n?11?un?