平面向量的基本定理及坐标表示 教案(新人教必修4).

2.3平面向量的基本定理及坐标表示

§2.3.1 平面向量基本定理

教学目的:

(1)了解平面向量基本定理;

(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解

决实际问题的重要思想方法; (3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点:平面向量基本定理.

教学难点:平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型:新授课

教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、

复习引入:

1.实数与向量的积:实数λ与向量a的积是一个向量,记作:λa

(1)|λa|=|λ||a|;(2)λ>0时λa与a方向相同;λ<0时λa与a方向相反;λ=0时λa=0 2.运算定律

??????????????????结合律:λ(μa)=(λμ)a ;分配律:(λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)=λa+λb ??3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使??b=λa.

二、讲解新课:

平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2. 探究:

(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线;

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数量

???三、讲解范例:

例1 已知向量e1,e2 求作向量

2.5e1+3e2.

??例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M,且AB=a,AD=b,

??用a,b表示MA,MB,MC和MD

例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,求证:OA+OB+OC+OD=4OE 例4(1)如图,OA,OB不共线,AP=tAB (t用OA,OB表示OP.

(2)设OA、OB不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且

R)

OP?(1?t)OA?tOB(t?R).求证:A、B、P三点共线.

例5 已知 a=2e1-3e2,b= 2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数?、?,使d??a??b与c共线. 四、课堂练习:

1.设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1、e2一定平行

B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)

D.若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知矢量a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c =6e1-2e2的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

3.已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2

4.已知a、b不共线,且c =λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1= . 5.已知λ1>0,λ2>0,e1、e2是一组基底,且a =λ1e1+λ2e2,则a与e1_____,a与e2_________(填共线或不共线). 五、小结(略) 六、课后作业(略): 七、板书设计(略)

八、课后记:

第5课时

§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算

教学目的:

(1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算;

(3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 教学重点:平面向量的坐标运算

教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 授课类型:新授课

教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:

1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线;

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数量 二、讲解新课: 1.平面向量的坐标表示

如图,在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得

1 a?xi?yj…………○

我们把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作

2 a?(x,y)…………○

2式叫做向其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,○

???

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