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该周期信号从随机信号、非周期信号以及与指定周期?T?不一致的其他周期信号中分离出来，而保留指定的周期分量及其高频谐波分量，提高待研究的周期信号的信噪比，即使该周期信号较弱也可以分离出来，这是频谱分析法所不及的，这就是时域同步平均法的基本思路。如果事先不知道周期信号的周期，可通过相关分析来确定信号的周期。对于旋转机械，截取的周期应和机器运行的转动周期同步起来，例如转一圈采一帧(或整转几圈采一帧)，如此循环采集若干帧信号进行平均即可。
假设观测得到的信号为
x(t)?d(t)?n(t) （2-4）
式中 d(t)——欲提取的周期信号，其周期为?T，频率为?f＝1?/?T，角频率??2? f； ——噪声信号。
可以证明，时域信号的平均相当于在频域上设置一个频域窗函数。经?N?次平均后，输出噪声能量降为输入噪声能量的?1/?N，从而所得到的输出信号y(t)为
y(t)?d(t)?n(t)N （2-5）
n(t)图?2-3?示出了某一信号经不同平均次数后的时域波形。
图2-3 用时域平均法提取周期信号
2.2频域分析法
通过振动信号的频谱分析揭示振动过程的频率结构，是进行故障诊断的重要途径，特别是随着快速傅里叶变换（FFT）算法的出现和近代频谱分析仪的推出，频域分析法已被广泛采用。
2.2.1 响应频谱诊断法
利用频谱分析进行故障诊断越来越得到广泛的应用。最初是靠熟练技师进行人工的定性分析，以后研制了各种便携式的频谱分析仪，目前频谱分析已进入微机化和智能化阶段。
不同的机械设备和结构系统，在不同的工况下其响应频谱的幅值和形状是不同的，只要积累大量的现场实测资料，并做一定的分析对比实验，经统计分析后就可利用频谱进行振动诊断。在很多机械中已给定了进行诊断维护的标准频谱图。如图?2-4所示，图中曲线?1?是在一定条件下机器在某给定点上响应的频谱维护极限，即机器振动频谱值超过曲线?l?就应停机维修；曲线?2?和曲线?3?分别表示机器运行在良好状态和正常状态下的频谱包络线。维护极限和良好状态曲线形成一定宽度的谱标，它是根据机器振动的基本统计特征，并考虑一定的许用极限形成的，把观测到的频谱和这一谱标进行有规则地比较就会判断系统的故障。对于转速变化很大的信号，常采用宽带谱标；对
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于转速只有较小浮动的信号，常采用窄带谱标。为了补偿转速的变化，可用等百分比带宽分析代替等带宽分析来获得频谱图。
图?2-4 某机器的典型频谱图
在进行故障诊断时，既可以用傅里叶频谱及其包络线，又可以用功率谱密度函数；既可以用二维频谱图，又可以用三维瀑布图。
2.2.2 高阶频谱诊断法
功率谱分析是线性系统最基本的分析工具之一，也是故障诊断最有效的方法之一。但自功率谱分析却丢失了相位信息，抗噪声干扰的能力不强，在故障发生初期信号变化不大且信号中混有高斯噪声时，利用功率谱分析就难以得到令人满意的结果，而利用三阶频谱或高阶频谱进行故障诊断现已引起人们的重视。
1.三阶频谱的定义和计算
对于平稳随机过程x(t)，其三阶自相关函数为
Rxxx(?1, ?2)?E??x(t) x(t??1) x(t??2)?? （2-6）
三阶自相关函数Rxxx(?1, ?2)与三阶频谱Sxxx(?1, ?2)是一种二重傅里叶变换对，还可
以类似地定义三阶互相关函数和三阶互谱。
随机信号x(t)的三阶频谱等于该信号的一维傅里叶变换的三次乘积的数学期望，即
*Sxxx(?1, ?2)?E?X(?)X(?)X(?1??2)?12?? （2-7）
同理，系统的输入x(t)与输出y(t)之间的三阶互谱也有类似的公式。信号的一维傅里叶变换可利用快速算法?FFT?完成，显然，?1??2也应满足?Shannon?采样定理，即
。
2.三阶频谱的特点及应用
（1）对于零均值平稳的高斯过程，其三阶矩恒等于零，三阶频谱也恒等于零，据此可检验一个随机过程是否为高斯过程。
（2）三阶频谱表示三个谱元之间的相关性。对于线性系统，若系统的输入为高斯平稳过程，系统的输出也为高斯平稳过程，三阶频谱恒等于零；当系统为非线性系统
?? / (2?t)??1??2?? / (2?t)时，系统的输出为非高斯平稳过程，在某些频率处会表现出较强的相关性，在?1-?2坐标下的三维图形上出现较高的谱峰，这些谱峰显露出非线性系统本身的频域特性，因此，三阶频谱分析为非线性输出信号的频谱分析及识别非线性系统提供了一个比较有效的方法。图2-5?为柴油机正常运转与发生故障时，在气缸盖上检测的振动响应信号的三阶频谱。由图可见，两个频谱图已清楚地表明了正常工作状态与故障状态的显著差异，不等于零的三阶频谱保留了相位信息。
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图?2-5 柴油机的三阶频谱图
（3）三阶频谱对高斯噪声不敏感。设x(t)和y(t)分别表示非高斯随机输入和输出，则输出y(t)的三阶频谱能有效地抑制高斯噪声，这是三阶频谱用于故障诊断的有利因素。
（4）三阶频谱对故障的敏感程度大。通过频响函数的三阶频谱作为故障诊断的特征量是一种可行的方法。
2.3 时频分析法
时频分析即时频联合域分析的简称，作为分析时变非平稳信号的有力工具，成为现代信号处理研究的一个热点，它作为一种新兴的信号处理方法，近年来受到越来越多的重视。时频分析方法提供了时间域与频率域的联合分布信息，清楚地描述了信号频率随时间变化的关系。
时频分析的基本思想是：设计时间和频率的联合函数，用它同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度。时间和频率的这种联合函数简称为时频分布。利用时频分布来分析信号，能给出各个时刻的瞬时频率及其幅值，并且能够进行时频滤波和时变信号研究。
图?2-6 时频分析
时频分析的主要方法有短时傅立叶变换和连续小波变换。
2.3.1 短时傅立叶变换
短时傅立叶变换由于其算法简单，实现容易，所以在很长一段时间里成为非平稳信号分析标准和有力的工具，它己经在故障诊断的信号分析和处理中得到了广泛的应用。
短时傅立叶变换的基本思想是用一个时间宽度足够窄的固定的窗函数乘时间信号，使取出的信号可以被看成平稳的，然后对取出的这一段信号分成许多小的时间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率，便可以反映出该时间宽度中的频谱变化规律。如果让这个固定的窗函数沿着时间轴移动，那就可以得
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到信号频谱随时间变化的规律了。其表达式为：
Sf(?,?)??f(t)g(t??)e?i?tdt.???第1页
（2-8）
其中，g(t)为一窗口函数，它一般是一光滑的低通函数，只在τ的附近有值，在其余处迅速衰减掉。这样，我们便得到函数在时刻τ附近的频率信息（即：频率为ω的信号成分的相对含量）。随着时间τ的变化，g(t)所确定的窗函数在时间轴上移动，对f(t)逐渐进行分析。
由此可见，短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗口函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，τ、ω只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。
因此，短时傅立叶变换用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率（即δ要小），而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率（即ε要小）。而短时傅立叶变换不能兼顾两者。
2.3.2 连续小波变换
短时傅里叶变换在分析非平稳性信号时表现出严重的不足。然而实际中的信号均包含大量的非平稳成分。例如偏移、趋势、突变等，它们往往反映了信号的重要特征。因此需要寻求一种同时具有时间分辨率和频域分辨率的分析方法。小波变换继承了短时傅里叶变换的思想，它的窗口大小不变，但窗口形状可以改变，是一种时间窗和频率窗都可改变的时频分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。因此在时频域都具有很强的表征信号局部特征的能力。小波变换由于其良好的时频特性，已广泛地应用于齿轮、轴承等的故障诊断与监测中。
将任意L2（R）空间中的函数f(t)在小波基下展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变换（CWT）。其表达式为：
WTf(a,?)??f(t),?a,?(t)???a,?(t)?|a|?(?121a?Rf(t)??(t??)dta （2-9）
其中：
t??),b?R,a?R?{0}a
WT(a,?)从定义可以看出：小波变换和傅立叶变换一样，也是一种变换，f为小波变换系数。也可见其与傅立叶变换的区别，若小波满足容许条件，则连续小波变换存
|?(?)|2C???d???|?|R在着逆变换。容许条件：
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逆变换公式为：
f(t)??1C?1C???0第1页
???0da??WTf(a,?)?a,?(t)d?2???a???da1t??WT(a,?)?()d?f2???aaa （2-10）
逆变换存在，必须满足“容许条件”。在实际应用中，对基本小波的要求往往不局限于满足容许条件，对?(t)还要施加所谓“正则性条件”，使?(?)在频域上表现出较好的局域性能。为了在频域上有较好的局域性，要求|WTf(a,?)|随a的减小而迅速减小，所以这就要求?(t)的前n阶原点距为0，且n值越高越好。即： ?t?(t)dt?0,p?1~n，且n值越大越好。p连续小波变换的性质：
（1）线性性: 一个多分量信号的连续小波变换等于各个分量的小波变换之和； （2）平移不变性:若f(t)的小波变换为Wf(a,b)，则f(t)的小波变换为（3）伸缩共变性:若f(t)的小波变换为Wf(a,b)，则f(ct)的小波变换为
Wf(a,b??)；
1cWf(ca,cb)；
（4）自相似性:对应不同尺度参数a和不同的平移参数b的连续小波变换之间是自相似的；
（5）冗余性: 连续小波变换中存在信息表述的冗余。 连续小波变换的步骤：
（1）选择小波函数及其尺度a值；
（2）从信号的起始位置开始，将小波函数和信号进行比较，即计算小波系数； （3）沿时间轴移动小波函数，即改变参数b，在新的位置计算小波系数，直至信号的终点；
（4）改变尺度a值，重复（2）、（3）步。
连续小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。从此，小波变换越来越引起人们的重视，其应用领域来越来越广泛。
2.4 共振解调技术
2.4.1 共振解调技术原理简介
共振解调技术是从振动监测——分析技术发展起来的一门新技术，传统的振动分析技术途径是直接分析机器振动冲击信号寻找故障，因而进展艰难。因为故障信号总是被强大的“转子不平衡振动的多阶频谱”、“齿轮啮合振动的频谱”等常规振动信号掩盖而不能成功。共振解调技术不是直接分析振动信号的频谱，而是设置一个谐振频率远远高于常规振动频率的“共振器”，去吸收和重新分配振动冲击信号的能量；常规的、不危害机器安全的振动是柔和的，不含有“共振器”频带所能吸收的能量，共振器没