初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆

第二十三讲 圆与圆

圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形,判定两圆的位置关系有如下三种方法:

1.通过两圆交点的个数确定;

2.通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定; 3.通过两圆的公切线的条数确定.

为了沟通两圆,常常添加与两圆都有联系的一些线段,如公共弦、共切线、连心线,以及两圆公共部分相关的角和线段,这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线.

熟悉以下基本图形、基本结论: 【例题求解】

【例1】 如图,⊙Ol与半径为4的⊙O2内切于点A,⊙Ol经过圆心O2,作⊙O2的直径BC交⊙Ol于点D,EF为过点A的公切线,若O2D=22,那么∠BAF= 度.

思路点拨 直径、公切线、O2的特殊位置等,隐含丰富的信息,而连O2Ol必过A点,先求出∠D O2A的度数.

注:(1)两圆相切或相交时,公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线,它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通.同时,又是生成圆幂定理的重要因素.

(2)涉及两圆位置关系的计算题,常作半径、连心线,结合切线性质等构造直角三角形,将分散的条件集中,通过解直角三角形求解.

【例2】 如图,⊙Ol与⊙O2外切于点A,两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平行,则⊙Ol 与⊙O2的半径之比为( ) A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.2:3

思路点拨 添加辅助线,要探求两半径之间的关系,必须求出∠COlO2 (或∠DO2Ol)的度数,为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系.

【例3】 如图,已知⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点,P是⊙Ol上一点,PB的延长线交⊙O2于点C,PA交⊙O2于点D,CD的延长线交⊙Ol于点N. (1)过点A作AE∥CN交⊙Oll于点E,求证:PA=PE; (2)连结PN,若PB=4,BC=2,求PN的长.

思路点拨 (1)连AB,充分运用与圆相关的角,证明∠PAE=∠PEA;(2)PB·PC=PD·PA,探寻PN、PD、PA对应三角形的联系.

【例4】 如图,两个同心圆的圆心是O,AB是大圆的直径,大圆的弦与小圆相切于点D,连结OD并延长交大圆于点E,连结BE交AC于点F,已知AC=42,大、小两圆半径差为2.

(1)求大圆半径长; (2)求线段BF的长;

(3)求证:EC与过B、F、C三点的圆相切.

思路点拨 (1)设大圆半径为R,则小圆半径为R-2,建立R的方程;(2)证明△EBC∽△ECF;(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′,必在BF上,连OˊC,证明∠O′CE=90°. 注:本例以同心圆为背景,综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识.作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键.

【例5】 如图,AOB是半径为1的单位圆的四分之一,半圆O1的圆心O1在OA上,并与弧AB内切于点A,半圆O2的圆心O2在OB上,并与弧AB内切于点B,半圆O1与半圆O2相切,设两半圆的半径之和为x,面积之和为y. (1)试建立以x为自变量的函数y的解析式; (2)求函数y的最小值.

y??(R2?r2),思路点拨 设两圆半径分别为R、r,对于(1),通过变形把R2+r2用“x=R+r”

12的代数式表示,作出基本辅助线;对于(2),因x=R+r,故是在约束条件下求y的最小值,解题的关键是求出R+r的取值范围.

注:如图,半径分别为r、R的⊙Ol 、⊙O2外切于C,AB,CM分别为两圆的公切线,OlO2与AB交于P点,则: (1)AB=2Rr;

(2) ∠ACB=∠Ol M O2=90°; (3)PC2=PA·PB; (4)sinP=

R?rR?r;

(5)设C到AB的距离为d,则?学力训练

1r12?. Rd1.已知:⊙Ol和⊙O2交于A、B两点,且⊙Ol经过点O2,若∠AOlB=90°,则∠A O2B的度数是 .

2.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在圆C内,点B在圆C外,那么圆A的半径r的取值范围 . (2003年上海市中考题)

3.如图;⊙Ol 、⊙O2相交于点A、B,现给出4个命题:

(1)若AC是⊙O2的切线且交⊙Ol于点C,AD是⊙Ol的切线且交⊙O2于点D,则AB2=BC·BD; (2)连结AB、OlO2,若OlA=15cm,O2A=20cm,AB=24cm,则OlO2=25cm;

(3)若CA是⊙Ol的直径,DA是⊙O2 的一条非直径的弦,且点D、B不重合,则C、B、D

三点不在同一条直线上,

(4)若过点A作⊙Ol的切线交⊙O2于点D,直线DB交⊙Ol于点C,直线CA 交⊙O2于点E,连结DE,则DE2=DB·DC,则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) .

4.如图,半圆O的直径AB=4,与半圆O内切的动圆Ol与AB切于点M,设⊙Ol的半径为y,AM的长为x,则y与x的函数关系是 ,自变量x的取值范围是 . 5.如图,施工工地的水平地面上,有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起,则其最高点到地面的距离是( ) A.2 B.1?21?33 C. D.1? 2226.如图,已知⊙Ol、⊙O2相交于A、B两点,且点Ol在⊙O2上,过A作⊙Oll的切线AC交B Ol的延长线于点P,交⊙O2于点C,BP交⊙Ol于点D,若PD=1,PA=5,则AC的长为( )

A.5 B.25 C.2?5 D.35

7.如图,⊙Ol和⊙O2外切于A,PA是内公切线,BC是外公切线,B、C是切点①PB=AB;②∠PBA=∠PAB;③△PAB∽△OlAB;④PB·PC=OlA·O2A. 上述结论,正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

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