第十章 线性代数简介
本章知识结构导图
行列式的定义与性质 矩阵及其运算 同型矩阵的运算 矩阵乘法运算规律 矩阵转置运算规律 线性代数 矩阵的初等变换及矩阵的秩 逆矩阵 定义、性质 矩阵可逆的充要条件 矩阵方程的求解 行初等变换 矩阵的秩 逆矩阵的求法 线性方程组 n元线性方程组的求解 线性方程组有解判别定理 数学家的故事: 阿瑟·凯利简介
阿瑟·凯利（Arthur Cayley，1821~1885）是英国数学家，生于伦敦里士满
(Richmond)，卒于剑桥。17岁时考入剑桥大学的三一学院，毕业后留校讲授数学，几年内发表论文数十篇。1846年转攻法律学，三年后成为律师，工作卓有成效。任职期间，他仍业余研究数学，并结识数学家西尔维斯特(Sylvester)。1863年应邀返回剑桥大学任数学教授。他得到牛津大学、都伯林大学和莱顿大学的名誉学位。1859年当选为伦敦皇家学会会员。
凯利和西尔维斯特同是不变量理论的奠基人。在布尔1841年的工作的影响下，他首
创代数不变式的符号表示法，给代数形式以几何解释，然后再用代数观点去研究几何学。他第一次引入n维空间概念，详细讨论了四维空间的性质，为复数理论提供佐证，并为射影几何开辟了道路。他还首先引入矩阵概念以化简记号，规定了矩阵的符号及名称，讨论矩阵性质，被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯利-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的。
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本章小结
本章主要掌握行列式、矩阵的概念及运算，逆矩阵、矩阵方程、线性方程组的求解。 一、行列式的定义与性质
1. 一阶行列式：a11?a11；二阶行列式：
a11a12?a11a22?a12a21；
a21a22a11a12a21a22三阶行列式：
a31a32a13aa23?a1122a32a33a23aaaa?a122123?a132122?a11M11?a12M12?a13M13a33a31a33a31a32；其中Mij为
?a11(?1)1?1M11?a12(?1)1?2M12?a13(?1)1?3M13?a11A11?a12A12?a13A13余子式，Aij为代数余子式。
2. 性质：
(1)任何行列式与它的转置行列式相等,即 D=D。 (2)互换行列式的两行（列），行列式变号。 (3)如果行列式有两行（列）相同，则行列式为0。
(4)行列式某一行(列)的各元素乘以同一个数,等于这个数乘以该行列式。 (5)若行列式有两行(列)的元素对应成比例，则行列式为0。
(6)如果某一行(列)元素都是两个数之和，则此行列式就等于两个行列式的和。
(7)行列式的任一行(列)的所有元素乘以同一个数，再加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变。
(8)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
(9)行列式中的任一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0。 3. 计算方法：
(1)二阶、三阶行列式可以根据定义直接计算；
(2)选择0元素较多的行（列），按该行（列）展开计算；
(3)利用行列式的性质，把某行（列）化为只有一个非零元素，按该行（列）展开计算；
(4)利用行列式的性质，化为三角形行列式再进行计算。
二、矩阵及其运算
1. 同型矩阵的线性运算规律：A?B?B?A；(A?B)?C?A?(B?C)；A?O?A；A?(?A)?O；(k?l)A?kA?lA；k(A?B)?kA?kB，k?0,l?0。
2. 矩阵乘法的运算规律：
T
?AB?C?A?BC?；
A?B+C??AB?AC,?B+C?A?BA?CA；
?AB???A?B=A??B?；
AE?EA=A。
注意：(1) AB，只有当A的列数等于B的行数时，该乘积才有意义；(2)矩阵乘法不满足交换律；(3)矩阵乘法不满足消去律。
3. 矩阵转置运算规律：?AT??A；?A+B??AT?BT；??A???AT；?AB??BTAT。
TTTT三、逆矩阵
1. 定义：若AB=E，则A、B互为逆矩阵，记A?1?B，B?1?A。
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2. 性质：
(1)若A可逆，则A?1可逆，且?A?1??A。
?1(2) 若A可逆，k?0，则kA可逆，且?kA???11?1A。 k?1(3)若矩阵A与B都可逆，则AB可逆，且?AB??B?1A?1。 (4) 若A可逆，则AT可逆，且?AT???A?1?。
?1T?A11?1*1?A12?1A?3. 矩阵可逆的充分必要条件：A?0。当A?0时，A?AA????A1nA21A22?A2n?An1???An2?。
?????Ann?4. 解矩阵方程：(1)AX=C?X=A?1C ；(2)XB=C?X=CB?1； (3)AXB=C?X=A?1CB?1； (4)
行初等变换AX=B,则?A?B???????E?X?。
四、矩阵的初等变换及矩阵的秩
1. 阶梯形矩阵：(1)如果有零行的话，零行位于矩阵下方；(2)各个非零行的第一个非零元素的列标随着行标的递增而严格增大。
注：一个矩阵的阶梯形矩阵不是唯一的，但阶梯形矩阵中所含非零行的行数是唯一的。 2. 行最简形矩阵：每一非零行的第一个非零元素都是1，并且这些1所在列其余元素都是0。 3. 矩阵的秩：矩阵A的阶梯形矩阵中，其非零行行数称为矩阵A的秩，记为秩A或r?A?。 4. 求矩阵秩的方法：用行初等变换把任意矩阵A化为阶梯形，然后判断非零行的行数。
?E?A5. 逆矩阵的求法：?A?E?????行初等变换??1?。
五、线性方程组
1. 方程组有解时称方程组相容；方程组无解时称方程组不相容。 2. n元线性方程组的求解： (1)根据方程组写出增广矩阵；
(2)用行初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵； (3)判断方程组是否相容（有解），在方程组相容时，把阶梯形矩阵化为行最简形矩阵； (4)根据行最简形矩阵直接写出原方程组的解。 3. n元线性方程组解的判断：
?时，?=未知量个数时，??n(1)r?A??rA方程组有解：①r?A??rA方程组有唯一解；②r?A??rA（n为未知量个数）时，方程组有无穷多个解，其中自由未知量个数等于n?r?A?。
???????时，方程组无解。 (2) r?A??rA
3
??