进一步改进Gauss-Seidel，并且比Jacobi,Gauss-Seidel方法收敛速度快,改变松弛因子的取值范围来可以得到Jacobi,Gauss-Seidel方法.
课题四 数值积分
一、问题提出
选用复合梯形公式，复合Simpson公式，Romberg算法，计算
14（1） I =
1?0? 4?sin2xdx ?I?1.5343916?f(0)?1, I?0.9460831?
（2） I =
sinxdx?x01ex（3） I = ?dx 204?x（4） I =
二、要求
1、 编制数值积分算法的程序；
2、 分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果；
3、 分别取不同步长h?? b?a ?/n，试比较计算结果（如n = 10, 20等）； 4、 给定精度要求?，试用变步长算法，确定最佳步长。 三、目的和意义
1、 深刻认识数值积分法的意义； 2、 明确数值积分精度与步长的关系；
根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题。 四.程序及流程图： 计算函数
ln?1?x?dx 2?01?x1sinx x
1，复化simpson：
#include
double a=0,b=1;
int n=10; //或 20 double h=(b-a)/n; double f0,f1,f2; f0=1;
f0+=sin(b)/b; f1=0;f2=0;
for(int j=1;j<=n-1;j++) {
double x=a+j*h; if(j/2==(j+1)/2) f2=f2+sin(x)/x; else f1=f1+sin(x)/x; }
double s=h*(f0+2*f2+4*f1)/3; printf(\}
2，Romberg法：
#include
double rombf(double x) {
double y; if(x==0) y=1;
else y=(sin(x)/x); return(y); }
double romb(double a,double b,double eps,double(*f)(double)) {
int m,n,i,k;
double y[10],h,ep,p,x,s, q; h=b-a;
y[0]=h*(f(a)+f(b))/2.0; m=1; n=1;
ep=eps+1.0;
while ((ep>=eps)&&(m<=9)) {
p=0.0;
for (i=0;i<=n-1;i++) {
x=a+(i+0.5)*h;
p=p+f(x); }
p=(y[0]+h*p)/2.0; s=1.0;
for (k=1;k<=m;k++) {
s=4.0*s;
q=(s*p-y[k-1])/(s-1.0); y[k-1]=p; p=q; }
ep=fabs(q-y[m-1]); m=m+1; y[m-1]=q; n=n+n; h=h/2.0; }
return(q); }
void main() {
double a=0.0,b=1.0,esp=0.000001,t,rombf(double); t=romb(a,b,esp,rombf);
printf(\计算法：\\n\ printf(\ printf(\}
五。运行结果：
Simpson n=10
n=20
Romberg
四、程序运行结果讨论和分析
复化求积公式能提高精度，但需要选取合适的步长，步长取得太大难以保证精度，步长小有容易导致计算量大大增加。本题对于Simpson公式法步长为20时较10时精度高，能够满足精度要求。