初高中数学衔接教材
中学初高中数学衔接教材
目
录
引 入 乘法公式 第一讲 因式分解 1. 1 提取公因式
1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差） 1. 3 分组分解法
1. 4 十字相乘法（重、难点）
1. 5 关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解． 第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数
2.2.1 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 第三讲
三角形的“四心”
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 (a + b)(a ?b) = a2 ?b2 ； （2）完全平方公式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 (a + b)(a2 ? ab + b2 ) = a3 + b3 ； （2）立方差公式 (a ?b)(a2 + ab + b2 ) = a3 ?b3 ； （3）三数和平方公式 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) ； （4）两数和立方公式 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ； （5）两数差立方公式 (a ?b)3 = a3 ?3a2b + 3ab2 ?b3 ． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例 1 计算： (x +1)(x ?1)(x2 ? x +1)(x2 + x +1) ．
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解法一：原式=(x2 ?1)??(x2 +1)2 ? x2 ??
=(x2 ?1)(x4 + x2 +1) = x6 ?1．
解法二：原式=(x +1)(x2 ? x +1)(x ?1)(x2 + x +1)
=(x3 +1)(x3 ?1) = x6 ?1．
例 2 已知 a + b + c = 4 ， ab + bc + ac = 4 ，求a2 + b2 + c2 的值． 解： a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 ? 2(ab + bc + ac) = 8． 练 习
1．填空：
1 1 1 1 （1） a ? b = ( b + a) （
2
2
）；
9 4
（2） (4m +
2
2 3
)2 =16m2 + 4m + (
2
2
2
) ；
)
．
(3 )
(a + 2b ? c) = a + 4b + c + (
2
2．选择题：
1
（1）若 x + mx + k 是一个完全平方式，则 k 等于
2
1
2 m
（A）
（B）
（ ）
（C）
1
m2 3
（D）
1 m2 16
（
）
4
（2）不论 a ，b 为何实数， a2 + b2 ? 2a ? 4b +8的值
（A）总是正数 （C）可以是零
m
2
（B）总是负数
（D）可以是正数也可以是负数
第一讲 因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法， 另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法 例 1 分解因式：
（1）x2－3x＋2；
（3） x2 ? (a + b)xy + aby2 ；
（2）x2＋4x－12； （4） xy ?1+ x ? y ．
解：（1）如图 1．1－1，将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积，再将常数项
2 分解成－1 与－2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是 x2
－3x＋2 中的一次项，所以，有