专题复习(五) 方程、不等式与函数的实际应用题
类型1 方程、不等式的实际应用
解题策略：
1．构建方程(组)或不等式解决实际问题，一般需要注意以下步骤：审题、设未知数、列方程(组)或不等式、解、检验、答．按照这样的程序，可以避免出现失误．
2．解决这类问题的关键是从问题情境中找等量关系或不等关系，其中不等关系有非常明显的标志语，如“大于，小于，不少于，不超过”等等．
3．对于运用不等式产生的方案问题，一般是取解集范围内的整数解，整数解的个数有几个，就有几种可行方案，主要要紧密联系实际进行检验．关于方案设计型问题，近年中考中出现有以下类型：利用方程解决方案；构建不等式解决方案；利用统计与概率求方案；利用一次、二次函数求方案；结合几何图形选择方案．
(2016·长沙)2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线
连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美
的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
【思路点拨】 (1)根据题意可以得到相应的二元一次方程，从而可以求得一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨；(2)根据题意可列出相应的不等式，通过解不等式可求得可行方案．
【自主解答】 (1)设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，由题意，得
??x＝8，?2x＋3y＝31，
解得? ?
?y＝5.?5x＋6y＝70，?
答：一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨．
(2)设该渣土运输公司决定派出小型号的渣土运输车m辆，则派出大型号的渣土运输车为(20－m)辆．由题意，得
5m＋8(20－m)≥148.解得m≤4.
∵小型渣土车运输至少派出2辆，∴m≥2. ∴2≤m≤4.
∵m为正整数，∴m取2，3，4. 故有三种派车方案，
第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆； 第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆； 第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆．
1．(2017·益阳)我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐(餐饮＋住宿)，一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．
(1)求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？
(2)今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？
解：(1)设去年餐饮利润为x万元，住宿利润为y万元．依题意，得
??x＝11，?x＋y＝20×80%，
?解得 ?
??x＝2y＋1，?y＝5.
答：去年餐饮利润为11万元，住宿利润为5万元．
(2)设今年土特产利润为m万元，依题意，得 16＋16×(1＋10%)＋m－20－11≥10， 解得m≥7.4.
答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润．
2．(2016·永州)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意，得400×(1－x%)2＝324，
解得x＝10或x＝190(舍去)．
答：该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件． 第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60(元/件)； 第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元/件)．
依题意，得60m＋24×(100－m)＝36m＋2 400≥3 210，解得m≥22.5.∴m≥23.
答：为使两次降价销售的总利润不少于3 210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．
3．(2017·云南)某商店用1 000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2 400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．
(1)该商店第一次购进水果多少千克？
(2)假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？
注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．
解：(1)设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，依题意，得
1 000(＋2)×2x＝2 400. x
整理，可得2 000＋4x＝2 400.
解得x＝100.经检验，x＝100是原方程的解． 答：该商店第一次购进水果100千克． (2)设每千克水果的标价是x元，则
(100＋100×2－20)×x＋20×0.5x≥1 000＋2 400＋950. 整理，可得290x≥4 350.解得x≥15. 答：每千克水果的标价至少是15元．
4．(2017·东营)为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A，B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7 800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5 400万元．
(1)改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
(2)该县计划改扩建A，B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11 800万元；地方财政投入资金不少于4 000万元，其中地方财政投入到A，B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
解：(1)设改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别为x万元和y万元，由题意，得
??x＝1 200，?2x＋3y＝7 800，
?解得 ?
??3x＋y＝5 400，?y＝1 800.
答：改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别为1 200万元和1 800万元．
(2)设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校(10－a)所，由题意，得
?（1 200－300）a＋（1 800－500）（10－a）≤11 800，
?
?300a＋500（10－a）≥4 000，
??a≥3，解得?∴3≤a≤5，
?a≤5.?
∵a取整数，∴a＝3，4，5.
即共有3种方案：
方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所； 方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所； 方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．
5．(2017·宜昌)某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线，轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成．从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资.2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍．随后两年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年年初开始逐年按同一百分数递减，依此规律，在2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工．经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3∶2.
(1)这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？
(2)市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？ (3)求搬迁安置投资逐年递减的百分数．
2
解：(1)三年用于辅助配套的投资为54×＝36(亿元)．
3
(2)设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设、搬迁安置的投资分别是2x亿元，4x亿元．由题意，得
2x＋2x＋b＋2x＋2b＝54，????x＝5，
解得? ?1.5b
?b＝8.2[x＋x（1＋）]＋4＝36.??2x?
∴2015年年初三项工程的总投资为7x＝7×5＝35(亿元)．
(3)由(2)得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元．
设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y.由题意，得 20(1－y)2＝5，解得y1＝0.5＝50%，y2＝1.5(舍)． ∴搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%.
类型2 函数的实际应用
解题策略：
1．求函数解析式的方法有两种：一种是直接利用两个变量之间的等量关系建立函数模型；另一种是采用待定系数法，用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．当解析式中的待定系数只有一个时，代入已知条件后会得到一个一元一次方程；当解析式中的待定系数为两个或两个以上时，代入独立条件后会得到方程组．正因如此，能正确地解方程(组)成为运用待定系数法求解析式的前提和基础．
2．用函数探究实际中的最值问题，一种是对于一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值问题的答案；另一种是对于二次函数解析式，首先整理成顶点式，然后结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐
标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值．
3．在组合函数中，若有一个函数是分段函数，则组合后的函数也必须分段．如：本例中年利润是由年销售量和销售单价组合而成的，销售单价是分段函数，所以年利润也必须按照销售单价中自变量的分段进行分段．
(2017·黄冈)月电科技有限公司用160万元作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的
电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年
销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s(万元)．(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．)
(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式；
(2)求出第一年这种电子产品的年利润s(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值； (3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s(万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x＞8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，求销售价格x(元/件)的取值范围．
【思路点拨】 (1)从图象看是分段函数，第一段是反比例函数，第二段是一次函数，用待定系数法求出两段函数；(2)根据年利润＝(销售价格－成本价格)×销售量，列出相应的两段函数解析式，再结合自变量的取值范围及函数的增减性确定利润的最大值；(3)先求出年利润为103万元时的销售价格，然后结合函数图象，确定年利润不低于103万元时销售价格的取值范围．
m
【自主解答】 (1)当4≤x≤8时，设y＝，将A(4，40)代入，得m＝4×40＝160.
x∴y与x之间的函数关系式为y＝
160. x
当8≤x≤28时，设y＝kx＋b，将B(8，20)，C(28，0)代入，得
??k＝－1，?8k＋b＝20，
解得? ?
?b＝28.?28k＋b＝0，?
∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋28. 160??x（4≤x≤8），
综上所述，y＝?
??－x＋28（8≤x≤28）.
160640(2)当4≤x≤8时，s＝(x－4)y－160＝(x－4)×－160＝－. xx∵s随x的增大而增大，
640
∴当x＝8时，smax＝－＝－80.
8
当8≤x≤28时，s＝(x－4)y－160＝(x－4)(－x＋28)－160＝－x2＋32x－272＝－(x－16)2－16. ∴当x＝16时，smax＝－16. ∵－16>－80，
∴第一年年利润的最大值为－16万元．
(3)∵第一年的年利润为－16万元， ∴16万元应作为第二年的成本． ∵x>8，
∴第二年的利润s＝(x－4)(－x＋28)－16＝－x2＋32x－128. 令s＝103，则－x2＋32x－128＝103. 解得x1＝11，x2＝21.
在平面直角坐标系中，画出s与x的函数示意图如图所示，观察图象可知：s≥103时，11≤x≤21. ∴当11≤x≤21时，第二年的年利润s不低于103万元．
【方法归纳】 确定函数关系式，先考虑是什么函数，利用待定系数法求函数表达式．最值问题是函数性质的实际应用，求最值先确定自变量的取值范围，再思考是什么函数，若是二次函数要先检验二次函数的对称轴与自变量的取值范围的关系，看最值是利用顶点确定还是利用函数的增减性确定；解一元二次不等式要用二次函数的图象去解．
1．(2017·济宁)某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
解：(1)w＝(x－30)·y＝(x－30)(－x＋60)＝－x2＋90x－1 800(30≤x≤60)． (2)w＝－x2＋90x－1 800＝－(x－45)2＋225. ∵－1＜0，
∴当x＝45时，w有最大值，最大值为225.
答：销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为225元． (3)当w＝200时，可得方程－(x－45)2＋225＝200. 解得x1＝40，x2＝50.
∵50＞42，∴x2＝50不符合题意，应舍去．
答：该商店销售这种双肩包每天想要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
2．(2016·宿迁)某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30 (1)求y关于x的函数表达式； (2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围． 解：(1)当0 当30 ?120x（0＜x≤30），?2 ∴y关于x的函数表达式为y＝?－x＋150x（30＜x≤m）， ??（150－m）x（x＞m）. (2)∵当0 当30