数学建模内部资料
第三章 微分方程模型
微分方程模型
1.1微分方程模型简介
对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或者变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：
1.、根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系； 2.、找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)； 3.、运用这些规律列出方程和定解条件。
2.1微分方程模型运用实例 例1：发射卫星为什么用三级火箭
采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？
下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析，并且假设引擎是足够强大的。
首先解决第一个问题：为什么不能用一级火箭发射人造卫星，下面用三个数学模型回答这个问题：
（1）卫星进入600km 高空轨道时，火箭必须的最低速度。
首先将问题理想化，假设：
（i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；
（ii）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心； （iii）其它星球对卫星的引力忽略不计。
建模与求解：设地球半径为R，质量为M；卫星轨道半径为r，卫星质量为m。 根据假设（ii）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为
F?GMm （1） 2r其中G为引力常数。
为消去常数G，把卫星放在地球表面，则由（1）式得
mg?再代入（1）式，得
GMm2GM?Rg 或 2R数学建模内部资料
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?R? F?mg?? （2）
?r?2其中g?9.81(m/s)为重力加速度。
2根据假设（i），若卫星围绕地球作匀速圆周运动的速度为v，则其向心力为mv/r，
因为卫星所受的地球引力就是它作匀速运动的向心力，故有
2mv2?R? mg???
rr??由此便推得卫星距地面为(r?R)km，必须的最低速度的数学模型为
v?R2g r（3）
取R?6400km，r?R?600km，代入上式，得 v?7.6km/s
即要把卫星送入离地面600km高的轨道，火箭的末速度最低应为7.6km/s。
（2）火箭推进力及升空速度
火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公转等的影响，使火箭升空后作曲线运动。
为使问题简化，假设：
（i）火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计。 （ii）在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t)，且均为时间t的连续可微函数； （iii）从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身）为常数u。
问题分析：由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断减少，在(t,t??t)内的减少量可由台劳展式表示为
dm?t?o(?t) （4） dt因为喷出的气体相对于地球的速度为v(t)?u，则由动量守恒定律有
?dm?m(t)v(t)?m(t??t)v(t??t)???t?o(?t)?(v(t)?u) （5）
dt?? m(t??t)?m(t)?从（4）式和（5）式可得火箭推进力的数学模型为
mdvdm （6） ??udtdtm0 （7） m(t)令t?0时，v(0)?v0，m(0)?m0，求解上式，得火箭升空速度模型
v(t)?v0?uln（6）式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度（相对火箭）的乘积。（7）式表明，在v0,m0一定的条件下，升空速度v(t)由喷气速度（相对火箭）u及质量比m0/m(t)决定。这为提高火箭速度找到了正确途径：从燃料上设法提高u值；从结构上设法减少m(t)。
（3）一级火箭末速度上限
火箭—卫星系统的质量可分为三部分：mp（有效负载，如卫星），mF（燃料质量），ms（结构质量，如外壳、燃料容器及推进器）。一级火箭末速度上限主要是受目前技术条件的限制，假设：
（i）目前技术条件为：相对火箭的喷气速度u?3km/s及
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ms1?
mF?ms9（ii）初速度v0忽略不计，即v0?0。
模型求解：因为升空火箭的最终（燃料耗尽）质量为mp?ms，由（7）式及假设（ii）得到末速度为
v?ulnm0 （8）
mp?msm0 （9）
?m0?(1??)mp0令ms??(mF?ms)??(m0?mp)，代入上式，得 v?uln于是，当卫星脱离火箭，即mp?0时，便得火箭末速度上限的数学模型为 v?uln由假设（i），取u?3km，??1?
1，便得火箭速度上限 90 v?3ln9?6.6km/s
因此，用一级火箭发射卫星，在目前技术条件下无法达到相应高度所需的速度。
理想火箭模型
从前面对问题的假设和分析可以看出：火箭推进力自始至终在加速着整个火箭，然而随着燃料的不断消耗，所出现的无用结构质量也在随之不断加速，作了无用功，故效益低，浪费大。
所谓理想火箭，就是能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构。下面建立它的数学模型。
假设：在(t,t??t)时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以?与1??的比例同时进行。
建模与分析：由动量守恒定律，有
m(t)v(t)?m(t??t)v(t??t)??由上式可得理想火箭的数学模型为 ?m(t)dmdm?t?v(t)?(1??)?t?(v(t)?u)?o(?t) dtdtdv(t)dm ?(1??)?u （10）
dtdt及
v(0)?0，m(0)?m0 解之得
v(t)?(1??)ulnm0 （11） m(t)由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便只剩卫星质量mp，从而最终速度的
v(t)?(1??)uln数学模型为
m0 （12） mp（12）式表明，当m0足够大时，便可使卫星达到我们所希望它具有的任意速度。例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使v?10.5km/s才行，如果取u?3km/s，??0.1，