第6课时 充要条件
一．课题：充要条件
二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系． 三．教学重点：充要条件关系的判定． 四．教学过程： （一）主要知识：
1．充要条件的概念及关系的判定； 2．充要条件关系的证明． （二）主要方法：
1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；
2．判断p?q是否正确的本质是判断命题“若p，则q”的真假；
3．判断充要条件关系的三种方法：
①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）． 4．说明不充分或不必要时，常构造反例． （三）例题分析：
例1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）
（1）在?ABC中，p:A?B，q:sinA?sinB （2）对于实数x,y，p:x?y?8，q:x?2或y?6 （3）在?ABC中，p:sinA?sinB，q:tanA?tanB
（4）已知x,y?R，p:(x?1)?(y?2)?0，q:(x?1)(y?2)?0
22ab ?sinAsinB∴sinA?sinB?a?b 又由a?b?A?B
所以，sinA?sinB?A?B 即p是q的的充要条件．
（2）因为命题“若x?2且y?6，则x?y?8”是真命题，故p?q， 命题“若x?y?8，则x?2且y?6”是假命题，故q不能推出p， 所以p是q的充分不必要条件．
（3）取A?120,B?30，p不能推导出q；取A?30,B?120，q不能推导出p 所以，p是q的既不充分也不必要条件．
（4）因为P?{(1,2)}，Q?{(x,y)|x?1或y?2}，P?Q，
?所以，p是q的充分非必要条件．
解：（1）在?ABC中，有正弦定理知道：例2．设x,y?R，则x?y?2是|x|?|y|?222的（ ）、是|x|?|y|?2的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：由图形可以知道选择B，D．（图略）
例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲， 因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙， 因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，
由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B． 例4．设x,y?R，求证：|x?y|?|x|?|y|成立的充要条件是xy?0． 证明：充分性：如果
xy?0，那么，①x?0,y?0②x?0,y?0 ③x?0,y?0于是
|x?y|?|x|?|y |如果xy?0即x?0,y?0或x?0,y?0，
当x?0,y?0时，|x?y|?x?y?|x|?|y|，
当x?0,y?0时，|x?y|??x?y?(?x)?(?y)?|x|?|y|， 总之，当xy?0时，|x?y|?|x|?|y|．
必要性：由|x?y|?|x|?|y|及x,y?R
222222得(x?y)?(|x|?|y|)即x?2xy?y?x?2|xy|?y 得|xy|?xy所以xy?0故必要性成立，
综上，原命题成立．
例5．已知数列{an}的通项an?*11??n?3n?4?11122，为了使不等式an?logt(t?1)?log(t?1)t2n?320对任意n?N恒成立的充要条件．
1111111???(?)?(?)?0，
2n?42n?5n?32n?42n?62n?52n?6?a2?a1， 则an?an?1?an?2?解：∵an?1?an?欲使得题设中的不等式对任意n?N恒成立，
*11119， log(2t?1)t即可，又因为a1???2045209112即只须t?1?1且logt(t?1)?logt2(t?1)??0，解得?1?logt(t?1)?t(t?1)，
20201?51即0??t?1?t(t?2)，解得实数t应满足的关系为t?且t?2．
2t2例6．（1）是否存在实数m，使得2x?m?0是x?2x?3?0的充分条件？
2（2）是否存在实数m，使得2x?m?0是x?2x?3?0的必要条件？
m2解：欲使得2x?m?0是x?2x?3?0的充分条件，则只要{x|x??}?{x|x??1或x?3}，
2m则只要???1即m?2，
22故存在实数m?2时，使2x?m?0是x?2x?3?0的充分条件．
m2（2）欲使2x?m?0是x?2x?3?0的必要条件，则只要{x|x??}?{x|x??1或x?3}，则
2只须{an}的最小项a1?logt2(t?1)?这是不可能的，
故不存在实数m时，使2x?m?0是x?2x?3?0的必要条件． （四）巩固练习：
1．若非空集合M?N，则“a?M或a?N”是“a?MN”的 条件．
2?2．0?x?5是|x?2|?3的 条件．
3．直线a,b和平面?,?，a//b的一个充分条件是（ ） A.a//?,b//? B.a//?,b//?,?//? C. a??,b??,?//? D. a??,b??,???