偏微分方程数值解实验报告一
实验题目：
?u'??5u,t?(0,1) 求解 ?
?u(0)?1(1)用Euler法和改进的Euler法求解，其中步长h=0.1,0.05,0.01 (2)用三阶Adams外插法及内插法求解，步长h=0.1,0.05,0.01
预备知识：
1.Euler法的迭代格式及其误差分析。
2.预估-校正算法，改进的Euler法迭代格式及其误差分析。 3.差分与等距节点插值，Adams外插法格式及误差估计。 4.高精度的单步法格式，Adams内插法格式及其误差估计。
实验过程分析：
1.本次实验代码用c++语言编写，编译器为VC++6.0.Euler法最简单的数值积分法， 数值格式也很简单。在将数学语言转化为计算机语言时，可以直接转化，无需作其他计算或转换。在程序代码中，其数值格式用C++代码表示为
u[j]=u[j-1]+h*(-5)*u[j-1];
在编写程序时，先输入步长h的值，针对h将区间(0,1)等分成N=1/h份。然后计算u在这些节点上的近似值ui。经计算可以得出微分方程满足边值条件的解为u(t)?e?5t。计算真解在节点上的值u(ti)。输出时，只是输出ui及数值解误差u(ti)-ui.对其优良性进行分析。按照书本上的分析，Euler法的局部截断误差为O(h2)阶，故其全局误差为O(h)阶。因此可以预期它的逼近效果不会很理想。
2.进行改进的Euler法格式实验时，由于右端项只与u有关，t没有显式出现，故进行迭代时，可以将右端的ui?1移项到左边，合并后再进行迭代。但为了与书本同步，使用了书本上介绍的预估-校正算法。虽然经计算它们的结果是一样的，但这个算法更具有一般性。预估-校正格式如下：
u[j]=u[j-1]; //预测，让u(i+1)=u(i)
for(k=0;k<150;k++) //校正
u[j]=u[j-1]+h/2*((-5)*u[j-1]+(-5)*u[j]);
式中将校正进行了150次。得出的结果比较理想。改进的Euler法较Euler法复杂些，因此其误差也会更小。全局误差达O(h2)阶。实验输出同上，只是输出ui及数值解误差u(ti)-ui.对其优良性进行分析。
3.Adams外插法比较复杂，用到的知识比较多。不过由于右端项比较特殊，可以将数值格式化为很简单的格式。由于外插法的局部阶段误差为O(hk?2)阶，故其全局误差为O(hk?1)阶。按照题目的精度要求，本次实验选取k=2.这时全局误差为3阶。在进行ui?1的计算时，需用到用到前面
ui，ui?1,ui?2的值。而题目中只是给出一个初值u0。至少还需要u1,u2的值
为已知，数值格式才可以进行。在这里用了后面介绍的高精度单步法。精度也选为3阶，故单步格式中q取为3。由于右端项只与u有关，故f的二阶导数要算出也不算难。
f'?25u,f''??125u。代入化简后，格式如下：
u[1]=u[0]+h*(1.0-5.0/2.0*h+25.0/6.0*h*h)*(-5)*u[0]; u[2]=u[1]+h*(1.0-5.0/2.0*h+25.0/6.0*h*h)*(-5)*u[1];
在数值格式右端项中，用到了差分与等距节点插值的相关知识。系数a[i]可以预先计算出来。由于k=2，故只需知道a[0]-a[2]的值，经计算分别为1,
15,.而f的差分最高为二212阶。算出来也很简便。将书本数值格式中的a[j],?j?fn?j算出来后，进行化简。最终得出以下结果：
u[i+1]=u[i]+h*(23.0/12.0*(-5.0)*u[i]-4.0/3.0*(-5.0)*u[i-1]+5.0/12.0*(-5.0)*u[i-2]);
上式并未进行最简单的化简。但结果无异。实验输出同上。总的来说，Adams外插法的精度还是比较高的。且k愈大，精度越高。
4.Adams内插法较外插法要复杂。不过由于右端项f只与u有关，故进行计算时，同样可以先进行移项合并，再进行数值格式计算。但是在这里同样用了预估-校正方式。而在实际计算中，两者结果无异，不过后者更具有代表性。根据内插法的局部截断误差为O(hk?3)，故其全局误差为O(hk?2)阶。令k+2=3，得k=1.在进行ui?1的计算时，由于右端含有
ui?1项，
故还需要ui,ui?1为已知的。由于只给出一个初值u0，故至少还需知道u1的值，和外插法一样，用高精度的单步法求出u1，误差为3阶，取q=3.在右端的计算中，a[i]和上面的有所不同，经计算分别为1，?主要用到的格式如下：
u[1]=u[0]+h*(1.0-5.0/2.0*h+25.0/6.0*h*h)*(-5)*u[0]; //单步法求u1
//预测，让迭代格式右端中的u(i+1)=u(i)
u[i+1]=u[i]+h*(5.0/12.0*(-5)*u[i]+2.0/3.0*(-5)*u[i]-1.0/12.0*(-5)*u[i-1]); for(int r=0;r<1000;r++)//校正1000次
u[i+1]=u[i]+h*(5.0/12.0*(-5)*u[i+1]+2.0/3.0*(-5)*u[i]-1.0/12.0*(-5)*u[i-1]); 上式中，校正进行1000次，以保证足够的精度。根据书本的总结，内插法的a[j]要比外插法的小，又是隐式，故其精度要比外插法的要高。同样用真解u(t)?e数值解ui进行比较，分析结果误差及该格式的优良性。
?5t11j,?。而??fn?j的计算和上面一样。将它们代入，化简后，212在节点xi上的值与
实验结果，误差分析及总结：
下面逐一对上述四种数值格式进行结果以及误差分析。并对它们进行比较。再进行实验总结。一下所有的输出结果中，第一列为数值解，第二列为数值解与真实解之间的误差。
1.对于欧拉法，由于其算法简单，故其误差也相对比较大。根据分析，其全局误差为
O(h)阶。而下面的结果当h=0.1时，精度刚好为1阶：
下面分别是h=0.05，h=0.01时的结果输出：
（h=0.05时的结果，与h同阶）
（h=0.01时的结果）
从输出结果可以看出，该算法的全局误差都为O(h)阶。与理论结果一致。随着h的减小，误差也相应减小。当然这是建立在误差阶为O(h)的基础上的。