第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1.计数原理
(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
(2)理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
(3)理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
(4)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
2.概率
(1)事件与概率
①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.
②了解两个互斥事件的概率加法公式. (2)古典概型
①理解古典概型及其概率计算公式.
②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
(3)随机数与几何概型
①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.
②了解几何概型的意义. 3.概率与统计
(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.
(2)了解超几何分布，并能进行简单应用. (3)了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题.
(4)理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.
(5)借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
§11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
5封信投入3个邮筒，不同的投法共有3种.故选B.
某人去有四个门的商场购物，若进出商场不
同门，则不同的进出方案有( )
A.256种 B.81种 C.16种 D.12种
解：进商场的方案有4种，则出商场的方案有3种，由分步计数原理知，共有进出商场的方案4×3＝12种.故选D.
点Q(x，y)中x∈{1，2}，y∈{2，3，4}，
则不在直线y＝x上的点Q(x，y)的个数是( )
A.1 B.4 C.5 D.6
解：这样的点共有2×3＝6个，在直线y＝x上的只有(2，2)，因此不在直线y＝x上的点的个数是6－1＝5.故选C.
某校高一有6个班，高二有7个班，高三有
8个班.现选两个班的学生参加社会实践活动，若要求这两个班来自不同年级，则有不同的选法____________种.
解：先分类再分步，共有不同的选法：6×7＋7×8＋6×8＝146种.故填146.
设集合I＝{1，2，3，4}，选择I的两个非
空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有________种.
解：当A中的最大数为1时，A有1种情形，
3
此时B有2－1＝7种情形；
1
当A中的最大数为2时，A有2＝2种情形，此
2
时B有2－1＝3种情形；
2
当A中的最大数为3时，A有2＝4种情形，此
1
时B有2－1＝1种情形.
∴由分步及分类计数原理知，共有1×7＋2×3＋4×1＝17种选择方法，故填17.
类型一 分类与分步的区别与联系
5
1.分类加法计数原理
完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法.
3.两个计数原理的区别
分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法______________，用其中______________都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法______________，只有______________才算做完这件事.
4.两个计数原理解决计数问题时的方法
最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步.
(1)分类要做到“______________”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
(2)分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
自查自纠：
1.m1＋m2＋…＋mn 2.m1×m2×…×mn
3.相互独立 任何一种方法 互相依存 各个步骤都完成
4.(1)不重不漏 (2)步骤完整 相互独立
甲同学有若干本课外参考书，其中有5
本不同的数学书，4本不同的物理书，3本不同的化学书.现在乙同学向甲同学借书，试问：
(1)若借一本书，则有多少种不同的借法？
则有多少种不同的借法？ (2)若每科各借一本，
(3)若借两本不同学科的书，则有多少种不同的 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有
借法？ ( )
35解：(1)因为需完成的事情是“借一本书”，所A.5种 B.3种 C.3种 D.15种
以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可解：第1封信，可以投入第1个邮筒，可以投
以完成这件事情. 入第2个邮筒，也可以投入第3个邮筒，共有3种
故用分类计数原理，共有5＋4＋3＝12(种)不投法；同理，后面的4封信也都各有3种投法.所以，
同的借法.
(2)需完成的事情是“每科各借一本书”，意味着要借给乙三本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情.
故用分步计数原理，共有5×4×3＝60(种)不同的借法.
(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：①借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理知，有5×4＝20(种)借法；②借一本数学书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有5×3＝15(种)借法；③借一本物理书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有4×3＝12(种)借法.而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理知，共有20＋15＋12＝47(种)不同的借法.
点拨：
仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理. 某单位职工义务献血，在体检合格的
人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同选法？ (2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情即可完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法.
(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才算完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法.
类型二 两个原理的综合应用
10人，他们自愿组成数学课外小组.现推选两人作中心发言，这两人须来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解：分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法.所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种).
点拨：
对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或只用分步乘法计数原理解决时，可以综合运用两个原理.可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类.本题可先根据两个班级的不同分类，再分步从两个班级中各选1人.
(2)有一个圆被两相交弦分成四块，现用5种不同的颜料给这四块涂色，要求相邻的两块颜色不同，每块只涂一种颜色，共有多少种涂色方法？
解：如图，分别用A，B，C，D记这四个部分，A与C，B与D不相邻，因此，它们可以同色，也可以不同色.首先分两类，即A，C涂相同颜色和A，C涂不同颜色：
(1)现有来自高(一)四个班的学生34
人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、
类型一，分三步：第一步，给A，C涂相同的颜色，有5种涂法；第二步，给B涂色有4种涂法；第三步，给D涂色，由于D与B可以涂相同的颜色，所以有4种涂法.由分步计数原理知，共有5×4×4＝80种不同的涂法.
类型二，分四步：第一步，给A涂色，有5种涂法；第二步，给C涂色，有4种涂法；第三步，给B涂色有3种涂法；第四步，给D涂色有3种涂法.由分步计数原理知，共有5×4×3×3＝180种不同的涂法.
综上，由分类计数原理可知，共有80＋180＝260种不同的涂法.
点拨：
本题也可以在分四步的基础上再分类来完成：A有5种涂法，B有4种涂法，若C与A相同，则D有4种涂法，若C与A不同，则C有3种涂法，且D有3种涂法，故有5×4×(4＋3×3)＝260种涂法.涂色问题多以平面、空间为背景，涂色对象以平面区域居多，也有以点或线为对象的涂色问题.此类问题往往需要多次分类、分步(也有用穷举法解决的题