浙江大学高等代数试题

浙江大学20XX年高等代数试题

由mylinco整理,浙江工业大学,数学与应用数学0501

1、(10分)设整系数多项式f(x)的次数是n?2m或n?2m+1(其中m为正整数)。证明:如果有k(?2m?1)个不同的整数?1,约。(提示:用反证法) 2、(10分)设A是n阶矩阵,XT?k使f(?i)取值1或?1,则f(x)在有理数域上不可

?(x1,xn),Y?(y1,yn)T,a是一个数。

(1)求证:

AXTY0??XTA*Y。 AXTYa(2)进一步,再证:

(其中A*表示A的伴随矩阵) ?aA?XTA*Y。

3、(10分)设?1,,?s是某个齐次线性方程组的一个基础解系,?1,,?k是该齐次方程组

,?k的k个线性无关的解。证明:若k?s,则在?1,共同构成该齐次方程组的一个基础解系。

,?s中必可取出s?k个向量使与?1,4、(10分)设A是n?s矩阵,证明:秩(A)?r的充分必要条件是存在两个列满秩的矩阵Bn?r和Cs?r使A?BC。

?15、(20分)设T1,T2为线性空间V的两个线性变换,若有V的可逆线性变换S使T1?ST2S,

T则称T1与T2相似。证明:T1与T2相似的充要条件是:存在可逆线性变换S,使对V中任一向量?,由T1???可得T2(S?)?S?。

6、(20分)若把所有n阶实对称矩阵按合同关系分类,问共有几类(说明原因)?每一类最简单的矩阵是什么?

7、(20分)(1)在R中內积定义为

T2?x,y??4x1y1?x2y2,(其中x?(x1,x2),y?(y1,y2)?R),

2令S?x:x?1,

??表示向量的长度,说明S是什么形状的图形,并画出草图。

??ab??,b,,cd?R?。证明W关于矩阵的加法和数乘(2)令W????:2a?b?3c?d?0,acd????成为R上的线性空间,并求出W的维数,给出W的一组基。

8、(20分)已知3维线性空间V有两组基:

(Ⅰ)

(Ⅱ) ???3,?2?2,?3?1?。 ??1,?2,??3,

(1) 写出(Ⅰ)到(Ⅱ)的过度矩阵;

(2) 若向量 在基(Ⅰ)下坐标为 ,写出 在基(Ⅱ)下的坐标; (3) 定义线性变换A为:

A(?1)??1,A(?2)?2?2,A(?3)?3?3??1

分别写出A关于基(Ⅰ),(Ⅱ)的矩阵;

(4)求A(?)。

9、(20分)对复域上方阵A,证明:

(1)存在正整数m使A?0当且仅当A的特征值均为零; (2)若存在正整数m使A?0,证明:A?E?1。

(其中E表示与A同阶的单位矩阵)

10、(10分)设T是n维欧氏空间的一个映射,若它不改变向量间的距离且将零向量变为零向量,则它是一个正交变换。

mm

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4