浙江大学20XX年高等代数试题
由mylinco整理，浙江工业大学，数学与应用数学0501
1、（10分）设整系数多项式f(x)的次数是n?2m或n?2m+1（其中m为正整数）。证明：如果有k(?2m?1)个不同的整数?1,约。（提示：用反证法） 2、（10分）设A是n阶矩阵，XT?k使f(?i)取值1或?1，则f(x)在有理数域上不可
?(x1,xn),Y?(y1,yn)T，a是一个数。
（1）求证：
AXTY0??XTA*Y。 AXTYa（2）进一步，再证：
（其中A*表示A的伴随矩阵） ?aA?XTA*Y。
3、（10分）设?1,,?s是某个齐次线性方程组的一个基础解系，?1,,?k是该齐次方程组
,?k的k个线性无关的解。证明：若k?s，则在?1,共同构成该齐次方程组的一个基础解系。
,?s中必可取出s?k个向量使与?1,4、（10分）设A是n?s矩阵，证明：秩(A)?r的充分必要条件是存在两个列满秩的矩阵Bn?r和Cs?r使A?BC。
?15、（20分）设T1,T2为线性空间V的两个线性变换，若有V的可逆线性变换S使T1?ST2S，
T则称T1与T2相似。证明：T1与T2相似的充要条件是：存在可逆线性变换S，使对V中任一向量?，由T1???可得T2(S?)?S?。
6、（20分）若把所有n阶实对称矩阵按合同关系分类，问共有几类（说明原因）？每一类最简单的矩阵是什么？
7、（20分）（1）在R中內积定义为
T2?x,y??4x1y1?x2y2，（其中x?(x1,x2),y?(y1,y2)?R），
2令S?x:x?1，
??表示向量的长度，说明S是什么形状的图形，并画出草图。
??ab??,b,,cd?R?。证明W关于矩阵的加法和数乘（2）令W????:2a?b?3c?d?0,acd????成为R上的线性空间，并求出W的维数，给出W的一组基。
8、（20分）已知3维线性空间V有两组基：
（Ⅰ）
（Ⅱ） ???3,?2?2,?3?1?。 ??1,?2,??3，
（1） 写出（Ⅰ）到（Ⅱ）的过度矩阵;
（2） 若向量 在基（Ⅰ）下坐标为 ，写出 在基（Ⅱ）下的坐标； （3） 定义线性变换A为：
A(?1)??1,A(?2)?2?2,A(?3)?3?3??1
分别写出A关于基（Ⅰ），（Ⅱ）的矩阵；
（4）求A(?)。
9、（20分）对复域上方阵A，证明：
（1）存在正整数m使A?0当且仅当A的特征值均为零； （2）若存在正整数m使A?0，证明：A?E?1。
（其中E表示与A同阶的单位矩阵）
10、（10分）设T是n维欧氏空间的一个映射，若它不改变向量间的距离且将零向量变为零向量，则它是一个正交变换。
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