2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 第13课时 抛物线
的简单几何性质检测 新人教B版选修1-1
1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x＋y－2x－2y＝0的圆心的抛物线的方程是( ) A．y＝2x B．x＝2y或y＝－2x C．x＝y或y＝x D．y＝x或x＝－y 解析：圆x＋y－2x－2y＝0的圆心为(1,1)，代入四个选项检验知，点(1,1)在抛物线x＝y或y＝x上，故选C. 答案：C 2222222222222?1?222．抛物线y＝ax的焦点坐标为?，0?，则抛物线ax＋y＝0的准线方程是( ) ?8?1A．y＝ B．y＝1 21C．y＝－ D．y＝－1 2a1?1?2解析：∵抛物线y＝ax的焦点坐标是?，0?，∴＝. 48?8?1∴a＝. 2122代入ax＋y＝0得x＝－2y，∴所求准线方程为y＝. 2答案：A 3．过抛物线y＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条． 答案：B 4．过抛物线y＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝__________. 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.∴A点坐标为(2,22)， 22－0则直线AB的斜率为k＝＝22. 2－1∴直线AB的方程为y＝22(x－1)． 22?y＝4x，由??y＝22x－2， 消去y得，2x－5x＋2＝0， 213解得x1＝2，x2＝.∴|BF|＝x2＋1＝. 223答案： 25．已知抛物线y＝2x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程． 解析：方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，则y1＋y2＝2y，kAB＝＝2y1－y2x1－x2y－1. x－2??y1＝2x1，∵?2??y2＝2x2，2 两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)， ∴2y·y1－y2y－17?1?2＝2，即2y·＝2，即?y－?＝x－. x1－x2x－24?2?7?1?2当AB⊥x轴时，AB的中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹方程为?y－?＝x－. 4?2?方法二：设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)， ??y－1＝k由?2?y＝2x，?x－， 得y－y＋1－2k＝0. 2k2??k≠0，由已知可知??Δ＞0? 恒成立． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P(x，y)， 221－2k∴y1＋y2＝，y1y2＝， kk12212∴x1＋x2＝(y1＋y2)＝[(y1＋y2)－2y1y2] 221?4＝?2－2?k－2k?2－2k＋4k2， ?＝2k?k??∴?y＋y1y＝??2＝k，12x1＋x22k2－k＋1x＝＝，2k2 7?1?2消去参数k，得?y－?＝x－. 4?2?7?1?2当AB⊥x轴时，AB的中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹方程为?y－?＝x－. 4?2? (限时：30分钟) 1．设抛物线的顶点在原点，其焦点为双曲线－y＝1的右顶点，则当点(3，y)在抛物3线上时，y的值是( ) A.6 B．－23 C．±6 D．±23 解析：由双曲线－y＝1得抛物线的焦点为(3，0)，则抛物线方程为y＝43x，所以3当x＝3时，y＝±23. 答案：D 2．若抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其通径的两端与顶点的连线组成的三角形的面积为4，则此抛物线的方程为( ) A．y＝82x B．y＝±42x C．y＝±4x D．y＝±82x 1p2解析：由题意S＝×2p×＝4，∴p＝8，p＝22. 22又∵抛物线的焦点在x轴上，∴y＝±42x. 答案：B 3．若点P为抛物线y＝2px(p＞0)上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．位置由F确定 222222x22x222??解析：设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋，F?，0?. 2?2?px0＋记PF的中点为M，则M的横坐标为∴以PF为直径的圆与y轴相切． 答案：B 4．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( ) A．22 B．23 C．4 D．25 2x0p1＝＋＝|PF|. 2242pp