偏微分方程数值解试题
1、考虑一维的抛物型方程：
?u?2u??2, x?[0,?], 0?t?T?t?xu(x,t)x?0?u0, u(x,t)x???u? u(x,0)??(x)（1）导出时间离散是一阶向前Euler格式，空间离散是二阶精度的差分格式；
（2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式，
?uun?1?un?1 ??tt?tn2?t空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？
2、考虑Poission方程
??2u(x,y)?1, (x,y)??
?u?0, in AB and AD ?nu(x,y)?0, in BC and CD其中Ω是图1中的梯形。
图1 梯形
使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2，
图2 从物理空间到计算区域的几何变换
?，然后在??上使用差分为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域??上用N?N个网格点，空间步长为方法来离散该方程。在计算区域?。??????1/N(?1)
?（带有坐标?,?）（1）引入一个映射T将原区域?（带有坐标x,y）变换到单位正方形?。
同时导出在新区域上的方程和边界条件。
（2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。
?u?u?a?0 a constant >0，其一阶迎风有限体积法离散格式为 ?t?xa?t?1n?n?n??n =（u?uujjj?uj?1）
?x（1）写出a?0时的一阶迎风有限体积法的离散格式；
（2）写出a为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。
?u?u（3）使用?u?0 说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。
?t?x3、对线性对流方程4、对一维Poission方程
??uxx?xex, x?(0,1) ??u(0)?u(1)?0将?01，?分成(n?1)等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？
（3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(n?1)?6，写出该差分格式的矩阵表示。
5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题
2??uxx?25?（sin(5?x)+9sin(15?x)）, x?(0,1) ??u(0)?u(1)?0给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h：n?7，粗网格2h：n?3为例）。 6、对一阶波动方程
??u?u??t??x?0?1? ?u(x,0)?sin(?x), x?(0,1)
2??u(0,t)?u(1,t)??（1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler进行时间离散的差分格式；
（2）使用线方法，分析上述格式的稳定性。
7、考虑散热片的设计问题。二维散热片如图3所示，是由一个中心柱和4个水平的子片构成；散热片从底部?root的均匀通量源通过大表面的子片散热到周围的空气中。散热片可由一个5维参数向量来表示，??(?1,?2,可取给定设计集D?5iii其中??k,i?1,,?5)，
5,4，和??Bi；?中的任意值。k是第i个子片热传导系数（k?1是中柱的热传导
0系数）；Bi是Biot数，反映在散热片表面的对流输运的热传导系数（大的Bi意味好的热传
导）。比如，假定我们选择散热片具有如下参数
k1?0.4,k2?0.6,k3?0.8,k4?1.2,Bi?0.1，此时??(0.4,0.6,0.8,1.2,0.1)。中心柱的
宽度是1，高度是4；子片的厚度t?0.25，长度L?2.5。我们将输出温度Troot看作是
??(?1,?2,,?5)的函数，其中输出温度Troot是散热片底部定常态温度的均值，输出温
度Troot越低，散热效果越好。
在散热片内定常态温度分布u(?)，由椭圆型方程控制
ii
其中u是u在?的限制，?i是热传导系数为k,i?0,i
,4的散热片的区域：?0是中心柱，
?i,i?1,,4对应4个子片。整个散热片区域记为?，?的边界记为?。为确保在传导系
,4上温度和热通量的连续性，我们有
i0i数间断界面?int??????,i?1,
ii?是??的外法线。在散热片的底部引入Neumann边界条件 这里n
来刻画热源；一个Robin边界条件
来刻画对流热损失，其中?ext是?暴露在流体流动中的边界部分，在底部的平均温度Troot(?)?l(u(，其中l(v)??))00i
i
i???\\?root。i?0ext4?root?v。在这个问题中，我们取
l(v)?l0(v)。
（1）证明u(?)?X?H(?)满足弱形式
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