§1.3 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量与无穷大量的概念
在实际问题中，经常会遇到以零为极限的变量。例单摆离开铅直位置并摆动, 由于受到空气阻力和机械摩擦力作用, 它的振幅随时间增加而逐渐减少并趋近于零; 又如在电容器放电时, 电压也是随时间的增加而逐渐减少趋近于零.
还有一些变量在变化过程中, 绝对值无限增大. 下面我们给出这两种变量的定义: 【定义1】如果limf(x)?0，则称函数f(x)是当x?X时的无穷小量，简称无穷小．
x?X若limf(x)??，则称f(x)为当x?X时的无穷大量，简称无穷大．
x?X也就是说, 无穷小是以0为极限的函数,无穷大是绝对值无限增大的函数.
例如, 当x?0时，x,sinx,x都是无穷小, 当x?1时，(x?1)2,lnx是无穷小,当x??时，
2112是无穷小. 当x?0时，是无穷大, 当x??时，x是无穷大. xx注定义中“x?X”表示自变量的某个变化过程，可以是“x??、x???、x???、
x?x0、x?x0?、x?x0?”中的任何一种．
在自变量的同一变化过程中的无穷小具有如下性质: 【性质1】有限个无穷小的代数和是无穷小. 【性质2】有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 由以上两个性质立得以下两性质: 【性质3】常数与无穷小的乘积是无穷小. 【性质4】有限个无穷小的乘积是无穷小.
【例1】求 limxsinx?01. x11??, sin的取值在区间[?1,1]上波动, 无极限, 不能用积xx【分析】当x?0时,
的极限法则计算, 应考虑无穷小的性质.
【解】当x?0时，x是无穷小量, 又因为sin11．根据?1，所以sin是有界变量；
xx性质2有limxsinx?01?0. x二、无穷大量与无穷小量的关系
无穷小与无穷大有如下关系:
【定理1】在自变量的同一变化过程中, 如果f(x)为无穷大, 则
1为无穷小；反f(x)之, 如果f(x)为无穷小, 且f(x)?0, 则
1为无穷大. f(x)简言之, 同一过程中的无穷大的倒数为无穷小, 非零无穷小的倒数是无穷大. 【例2】求 limx?1x?1. x?1【解】当x?1时, x?1?0, x?1?2, 不能用商的极限法则. 考虑其倒数的极限, 有limx?1x?1x?1x?1?0, 即当x?1时, 是无穷小, 由定理1， 是无穷大, 因此 x?1x?1x?1limx?1x?1??. x?1三、无穷小量的比较
我们通常用速度来描述及比较物体运动的快慢, 那么, 怎样描述及比较无穷小量收敛速度的快慢呢? 例如，当x?0时，3x、2x、x都是无穷小，而它们的比值的极限有各种不同情况：
23x33x23xlim?lim?,lim?0,lim2??x?02xx?02x?0x2x?03x
这反映了在同一极限过程中，不同的无穷小趋于零的“快慢”程度不一样．从上述例子可看出，在x?0的过程中，3x?0与2x?0“快慢大致相同”， x?0比3x?0“快些”，而2x?0比x?0“慢些”．下面我们通过无穷小之商的极限来说明两个无穷小之间的比较, 给出无穷小的阶的定义．
【定义2】设?,?是同一变化过程中的无穷小, 且??0,
22??0，就说?是比?高阶的无穷小，记作??o(?)； ??(2)若lim??，就说?是比?低阶的无穷小；
??(3)若lim?c?0，就说?是与?同阶无穷小；
?(1)若lim特别地, 若lim??1，就说?与?是等价无穷小，记作?~?． ?显然, 如果?是比?高阶的无穷小, 则?是比?低阶的无穷小, 这时?比?收敛到0的速度“快些”. 如果?是与?同阶无穷小, 那么它们收敛到0的“快慢大致相同”.
x2?0，例如，当x?0时，x是比3x高阶的无穷小，因为lim即x2?o(3x) (x?0);
x?03x2此时lim3x??, 因此3x是比x2低阶的无穷小; 2x?0x当x?0时，2x与3x是同阶无穷小，因为lim2x2?;
x?03x3sinx?1, 这是
x?0x当x?0时，sinx与x是等价无穷小，即sinx~x(x?0), 因为lim第一重要极限, 我们将在下一节加以介绍．
【例3】当x?0时，试比较下列无穷小的阶．
2(1) ??x?2x,??x； (2) ??xcosx,??x．
?x2?2x【解】（1）因为lim?lim?2，所以当x?0时，x2?2x与x是同阶无
x?0?x?0x穷小．