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19、（8分）已知向量a??sinx,1?,b??cosx,1?,x?R， （1）当x??4时，求向量a?b的坐标；
2 （2）若函数f?x??a?b?m为奇函数，求实数m的值。
20、（10分）已知数列?an?的前n项和Sn?2?a（a为常数，n?N?）
n （1）求a1，a2，a3；
（2）若数列?an?为等比数列，求常数a的值及an；
（3）对于（2）中的an，记f?n????a2n?1?4??an?1?3，若f?n??0对任意的正整数n恒成立，求实
数?的取值范围。
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2012年湖南省普通高中学业水平考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题4分，满分40分） 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 C 8 B 9 A 10 C 二、填空题（每小题4分，满分20分） 11．＞； 12． 3； 13．4； 14．
1； 15． 1002． 2三、解答题（满分40分）
16．解：（1）由图象可知，函数y?f(x)的最大值为2； ………………………………3分
（2）由图象可知，使f(x)?1的x值为-1或5． ……………………………6分
17．解：（1）这10袋食品重量的众数为50（g）， ……………………………2分
因为这10袋食品重量的平均数为
45?46?46?49?50?50?50?51?51?52， ?49（g）
10所以可以估计这批食品实际重量的平均数为49（g）； ………………………………
4分
（2）因为这10袋食品中实际重量小于或等于47g的有3袋，所以可以估计这批食品重量的不合格率为
3，故可以估计这批食品重量的合格率为107． ………………………8分 1018．（1）解：因为D1D⊥面ABCD，所以BD为直线B D1在平面ABCD内的射影， 所以∠D1BD为直线D1B与平面ABCD所成的角， ………………………………2分
又因为AB=1，所以BD=2，在Rt△D1DB中，tan?D1BD?D1D?1， BD所以∠D1BD=45o，所以直线D1B与平面ABCD所成的角为45o； …………………4分
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（2）证明：因为D1D⊥面ABCD，AC在平面ABCD内，所以D1D⊥AC，
又底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD， ………………………………………6分
因为BD与D1D是平面BB1D1D内的两条相交直线， 所以AC⊥平面BB1D1D． ………………………………………………8分
19．解：（1）因为a =（sinx，1），b =（cosx，1），x??4，
所以a + b?(sinx?cosx,2)?(2,2)； ………………………………4分
（2）因为a + b?(sinx?cosx,2)，
所以f(x)?(sinx?cosx)?4?m?sin2x?5?m， ………………………6分 因为f(x)为奇函数，所以f(?x)??f(x)，
即sin(?2x)?5?m??sin2x?5?m，解得m??5． ………………………8分
注：由f(x)为奇函数，得f(0)?0，解得m??5同样给分．
20．解：（1）a1?S1?a?2， …………………………………………1分
由S2?a1?a2，得a2?2， …………………………………2分
由S3?a1?a2?a3，得a3?4； ………………………………3分
n?1（2）因为a1?a?2，当n?2时，an?Sn?Sn?1?2，
2又{an}为等比数列，所以a1?1，即a?2?1，得a??1， ……………………5分
n?1故an?2； ……………………………………………………
6分
n?12nn（3）因为an?2，所以f(n)???2?4??2?3， ………………………7
分
n令t?2，则t?2，f(n)???t?4??t?3??(t?2)?4??3，
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设g(t)??(t?2)?4??3，
当??0时，f(n)??3?0恒成立， …………………………………8分
当??0时，g(t)??(t?2)?4??3对应的点在开口向上的抛物线上，所以f(n)?0不
可
能
恒
成
22立， ……………………………………9分 当??0时，g(t)??(t?2)?4??3在t?2时有最大值?4??3，所以要使f(n)?0 对任意的正整数n恒成立，只需?4??3?0，即???综上实数?的取值范围为?10分
说明：解答题如有其它解法，酌情给分．
233，此时????0， 443???0． …………………………………………4
2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 1．已知集合M?{0,1,2}，N?{x}，若MA．3 B．2
C．1
N?{0,1,2,3}，则x的值为（ ）
D．0
?1?,(x?1)f(x)??x2．设，则f(1)的值为（ ）
??2,(x?1)A．0
B．1
C．2
D．-1
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俯视图（第3题图）