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已知等比数列{an}的公比q?2，且a2,a3?1,a4成等差数列. （1）求a1及an；
（2）设bn?an?n，求数列{bn}的前5项和S5.
19. （本小题满分8分） 已知向量a?(1,sin?),b?(2,1). （1）当???6时，求向量2a?b的坐标；
（2）若a∥b，且??(0,
20. （本小题满分10分）
?)，求sin(??)的值. 24?已知圆C:x?y?2x?3?0. （1）求圆的圆心C的坐标和半径长；
（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，求证：
2211?为定值； x1x2（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D,E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大.
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2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题（每小题4分，满分40分） 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 A 6 C 7 D 8 A 9 C 10 A 二 、填空题（每小题4分，满分20分） 11.6 12.
2? 13.4 14.2 15. 45（或） 34
三 、解答题（满分40分）
16. 解：(1)函数f?x?的大致图象如图所示; ……………………………2分 (2)由函数f?x?的图象得出,
f?x?的最大值为2, ………………4分
其单调递减区间为?2,4?.…………6分
3020?5?3(人), ?5?2(人), 5050所以从男同学中抽取3人, 女同学中抽取2人; ……………………………………4分 (2)过程略. 17. 解: (1)
3P(A)?. ……………………………………………………………………………8分
518. 解: (1)an?2n?1; ………………………………………………………………4分 (2)S5?46. ……………………………………………………………………………8分
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19. 解: (1)?4,2?; …………………………………………………………………4分 (2)2?6. ………………………………………………………………………8分 4220. 解: (1)配方得?x?1??y2?4, 则圆心C的坐标为??1,0?,……………………2分 圆的半径长为2; ………………………………………………………………………4分 (2)设直线l的方程为y?kx, ?x2?y2?2x?3?0联立方程组?,
?y?kx消去y得1?k2x2?2x?3?0, ………………………………………………5分 2?x?x??2??11?k2则有: ? ………………………………………………6分
3?xx???121?k2???11x1?x22???为定值. ………………………………………………7分 x1x2x1x23(3)解法一 设直线m的方程为y?kx?b, 则圆心C到直线m的距离
所以
d?b?12, 所以DE?2R2?d2?24?d2, …………………………………8分
22S?CDE?4?d??d?2, 1?DE?d?4?d2?d?22b?1当且仅当d?4?d2,即d?2时, ?CDE的面积最大, …………………………9分 从而?2, 解之得b?3或b??1, 2故所求直线方程为x?y?3?0或x?y?1?0.……………………………………10分
解法二 由(1)知CD?CE?R?2, 所以S?CDE?1CD?CE?sin?DCE?2sin?DCE?2,当且仅当CD?CE时, ?CDE的面积最2大, 此时DE?22, ………………………………………………………8分 设直线m的方程为y?x?b 则圆心C到直线m的距离d?b?12,…………………………………………………9分
由DE?2R2?d2?24?d2?22, 得d?2, 由?2,得b?3或b??1, 2故所求直线方程为x?y?3?0或x?y?1?0.……………………………………10分 b?1
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