第七讲 盈亏问题
【基础概念】：把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。一般解法：（盈数+亏数）÷两次每份分配之差=份数、（大盈-小盈）÷两次分配之差=份数、（大亏--小亏）÷两次分配之差=份数、一盈一平或一亏一平=盈数或亏数÷两次分配的差=份数、再求总数量。每次分的数量×份数+盈=总数量或。每次分的数量×份数-亏=总数量。
【典型例题1】：小明的爷爷买回一筐梨，分给全家人．如果小明和小妹每人分4个梨，其余每人分2个梨，还多出4个梨．如果小明1人分6个梨，其余每人分4个梨，又差12个梨．小明家有多少人？这筐梨子有多少个？ 【思路分析】：第一种分法是小明、小妹各4个梨，其余每人2个梨，多余4个梨．假设小明、小妹也分2个梨，那么会多多少个梨呢？很容易想，多出：2×2+4=8（各）．第二种分法是小明一人得6个梨，其余每人4个梨，差12个梨．假设小明也只分4个，那么就只差：12-2=10（个）。 解答：小明家的人数为： 2×2+4+（12-2）=18（个） 18÷2=9（人） 梨子的个数为：
4×2+2×（9-2）+4=26（个） 或：6+4×（9-1）-12=26（个） 答：小明家有9个人，这筐梨有26个。
【小结】：解决此类问题的关键是把小明和小妹先看和其他家人分一样多的，从而从中找出人与梨的个数的关系。
【巩固练习】1、佳佳的奶奶买回一筐梨，分给全家人，如果佳佳和妹妹每人分4个梨，其余每人分2个梨，还多出4个梨；如果佳佳1人分6个梨，其余每人分4个梨，还差12个梨．佳佳家有多少人？这筐梨有多少个？
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2、老师把一堆苹果分给小朋友，每人分的同样多．如果分给9个人，那么还剩下21个苹果；如果分给12个人，就只剩下12个苹果．请问：这堆苹果一共有多少个？
【典型例题2】：小华家买来许多苹果和橘子，橘子的个数是苹果的3倍，如果每人分2个苹果，还多1个苹果；如果每人分8个橘子，还差5个橘子．问小华家有几人？买来苹果和橘子各多少个？
【思路分析】：苹果每人分2个多1个，橘子是苹果的3倍，也就是说：如果橘子每人分6个多3个；再由“如果每人分8个橘子，还差5个橘子”，可知橘子前后共相差：5+3=8（个）；前后每人分得的橘子相差：8-6=2（个），也就是每人多分2个橘子，就会多出8个橘子，那么人数为：8÷2=4（人）；则有苹果：4×2+1=9（个）；橘子：8×4-5=27（个）。 解答：人数为： （5+1×3）÷2 =8÷2 =4（人） 苹果数量： 4×2+1=9（个） 橘子数量： 8×4-5=27（个）
答：小华家有4人，买来苹果9个，橘子27个。
【小结】：解决此类问题的关键是根据“苹果每人分2个多1个，橘子是苹果的3倍”，推出“橘子每人分6个多3个”，然后再根据数量关系解答。 【巩固练习】3、张老师给学生分苹果和橘子，苹果是橘子的2倍，橘子每人分3个，则多4个；苹果每人分7个，则少5个．问有多少学生？苹果和橘子各有多少个？
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4、有一个筐中装有苹果和桔子，苹果的个数是桔子的3倍．现在将它们分给小朋友，每人分5个苹果和2个桔子，最后正好把桔子分完，而苹果还有11个．求筐中原有苹果和桔子各多少个？
答案及解析：
1.【解析】第一种分法是佳佳、妹妹各4个梨，其余每人2个梨，多余4个梨．假设佳佳、小妹也分2个梨，那么会多多少个梨呢？很容易想，多出：2×2+4=8（个）．第二种分法是佳佳一人得6个梨，其余每人4个梨，差12个梨．假设佳佳也只分4个，那么就只差：12-2=10（个）；所以两次分梨的差额是8+10=18个，每人的差额是4-2=2个，然后求出总人数，再进一步解答即可。 【答案】佳家的人数为： 2×2+4+（12-2） =4+4+10 =18（个） 18÷2=9（人） 梨子的个数为： 4×2+2×（9-2）+4 =8+14+4 =26（个）
或：6+4×（9-1）-12 =6+32-12 =26（个）
答：佳佳家有9个人，这筐梨有26个。
2. 【解析】题意，每人分的同样多，如果分给9个人，那么还剩下21个苹果；如果分给12个人，就只剩下12个苹果，即多分给（12-9）人就多分了（21-12）个，由此可求得每人分多少个，进而求得这堆苹果一共有多少个。 【答案】：（21-12）÷（12-9）×9+21
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