第11章 恒定电流与真空中的恒定磁场
由于各电流窄条产生的磁场方向各不相同，应按坐标轴分解将矢量积分化为标量积分，即
Bx??dBx??dBsin?????0Id?2?2R?2R??Id?By??dBy??dBcos???02cos??0.
02?R0sin???0I,
所以
4???????5B?Bx????6.37?10?5(T) ??2?R??10?0I方向向右。
11-12 在半径为R及r的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕平面线圈（如题图11-12）通有电流I，求线圈中心（即两圆圆心）处的磁感应强度。
分析：将密绕平面线圈分割成许多同心的圆电流，利用载流圆环
r在其圆心处产生的磁场dB公式求解，然后再积分求解总的磁感应
强度。
解：由于载流螺旋线绕得很密，可以将它看成由许多同心的圆电流所组成，在沿径向r到R范围内，单位长度的线圈匝数为
题图11-12
n?N. R?rINd?. R?r任取半径?，宽为d?的电流环，该电流环共有电流为
Ind??该电流环在线圈中心产生的磁感强度大小为
dB??0?INd?Ind??0. 2?2(R?r)?圆心处总磁感强度大小
B??dB??方向垂直纸面向外。
Rr?0INd??INR?0ln,
2(R?r)?2(R?r)r11-13 如题图11-13所示，在顶角为2?的圆锥台上密绕以线圈，共N匝，通以电流I，绕有线圈部分的上下底半径分别为r和R.求圆锥顶O处的磁感应强度的大小.
分析：将密绕线圈看成许多载流圆环，利用载流圆环在其轴线上产生的磁场
r
公式dB公式，再积分求解总的磁感应强度。
题图11-13
6
第11章 恒定电流与真空中的恒定磁场
解：只要将题11-12中的均匀密绕平面线圈沿通过中心的轴垂直上提，便与本题条件相一致，故解题思路也相似。
如解图11-12建立坐标，取半径为?，宽为d?的电流环的密绕线圈，其含有匝数为通电流为
Nd?， R?r
解图11-12
NIdI?d?.
R?r因为
x??cot?，dx?d?cot?。
半径为?的一小匝电流在O点产生的dB大小为
?0?2dI?0?2NIdB??d? 223/22223/22(?+x)2(?+?cot?)(R?r)?0NId??0NIsin3?d???. 32csc?(R?r)?2(R?r)?所有电流产生的磁场方向均沿x轴，所以其磁感强度大小为
B?
?0NIsin3?2(R?r)?Rd?r???0NIsin3?2(R?r)lnR. r11-14 半径为R的木球上绕有细导线，所绕线圈很紧密，相邻的线圈彼此平行地靠着，以单层盖住半个球面共有N匝，如题图11-14所示。设导线中通有电流I，求在球心O处的磁感应强度。
分析：考虑线圈沿圆弧均匀分布，利用载流圆环在其轴线上产生的磁感应强度公式求解，再积分求解总的磁感应强度。
解：建立如解图11-14所示坐标，x轴垂直线圈平面，考虑线圈沿圆弧均匀分布，故在x?x?dx内含有线圈的匝数为
题图11-14
dN?N2N2Ndl?Rd??d?. ?R/2?R?线圈中通电流I时，中心O点处磁感强度为
dB?因为
?0Iy22(x?y)223/2dN.
x?Rsin?,y?Rcos?,
对整个半球积分求得O点总磁感强度为
7
解图11-13
第11章 恒定电流与真空中的恒定磁场
B??dB???0Iy22(x2?y2)3/2dN
?方向沿x轴正向。
?0IN?R????cos2?d???0IN4R
11-15 一个塑料圆盘，半径为R，带电q均匀分布于表面，圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为?.试证明
（1）在圆盘中心处的磁感应强度为B?（2）圆盘的磁偶极矩为pm??0?q2?R
1q?R2 4分析：均匀带电圆盘以角速度?旋转时相当于圆电流，利用载流圆环在其圆心处产生的磁场
公式求解，再积分求解总的磁感应强度。
解：（1）在圆盘上取一个半径为r、宽为dr的细圆环，其所带电量为
dq??2?rdr?圆盘转动后相当于圆电流
q2?rdr 2?R2?rdr?dI?ndq??q??πR2?qrdr?R2
若干个圆电流在圆心产生的磁感强度为
B??dB??（2）细圆环的磁矩为
?0dI2r??R?0?qrdr2r?R20??0?q2?R
dpm?SdI??r转动圆盘的总磁矩为
2?qr?R2dr??qr3R2dr
pm??方向沿轴向。
R?qr3R20dr?1q?R2 411-16 已知一均匀磁场的磁感应强度B=2T，方向沿x轴正方向，如题图11-16所示。试求:
（1）通过图中ABCD面的磁通量； （2）通过图中BEFC面的磁通量； （3）通过图中AEFD面的磁通量。 分析：应用磁通量概念求解。
解：（1）取各面由内向外为法线正方向。则
8
题图11-16
第11章 恒定电流与真空中的恒定磁场
?ABCD?BSABCDcos???2?40?10?2?30?10?2??0.24(Wb) 穿入
（2）?BEFC?BSBEFCcos??0. ?（3）?AEFD?BSAEFDcos??BSAEFD?0.24(Wb) 穿出
11-17 如题图11-17所示，在长直导线AB内通有电流I，有一与之共面的等边三角形CDE，其高为h，平行于直导线的一边CE到直导线的距离为b。求穿过此三角形线圈的磁通量。
分析：由于磁场不均匀，将三角形面积分割成许多平行于长直导线的狭条，应用磁通量概念求出穿过狭条面元的磁通量，然后利用积分求出穿过三角形线圈的磁通量。
解：建立如解图11-17所示坐标，取距电流AB为x远处的宽为dx且与AB平行的狭条为面积元
题图11-17
dS?2(b?h?x)tan30?dx.
则通过等边三角形的磁通量为
vvb?h?0I???B?dS??2(b?h?x)tan30?dx
Sb2?x??b?hb3?0Ib?h?x3?0I?b?h?dx?(b?h)ln?h?. ?3?x3??b?解图11-17
11-18 一根很长的圆柱形实心铜导线半径为R，均匀载流为I。试计算：
（1）如题图11-18（a）所示，导线内部通过单位长度导线剖面的磁通量；
（2）如题图11-18（a）所示，导线外部通过单位长度导线剖面的磁通量.
分析 解此题需分以下两步走：先由安培环路定理求得导线内、
题图11-18
vv外的磁感应强度分布情况；再根据磁通量的定义式???B?dS来求解。
解 由磁场的安培环路定理可求得磁感应强度分布情况为
?0Ir?B???内2?R2??0I ?B外??2?r?
(r?R)(r?R)
9
第11章 恒定电流与真空中的恒定磁场
然后求磁通量。沿轴线方向在剖面取面元dS?ldr，考虑到面元上各点B相同，故穿过面元的磁通量d??BdS，通过积分，可得单位长度导线内的磁通量。 (1)导线内部通过单位长度导线剖面的磁通量
?内??B内dr??0RR0?0Ir?0I dr?22?R4?(2)导线外部通过单位长度导线剖面的磁通量. ?外?
11-19 如题图11-19所示的空心柱形导体，柱的内外半径分别为a和b，导体内载有电流I，设电流I均匀分布在导体的横截面上。求证导体内部
?2RRB外dr??0Iln2 2?r2?a2各点（a?r?b）的磁感应强度B由下式给出：B?. 222?(b?a)r?0I分析：应用安培环路定理求解。注意环路中电流的计算，应该是先求出载流导体内电流密度，再求出穿过环路的电流。 证明：载流导体内电流密度为
题图11-19
??I 22?(b?a)由对称性可知，取以轴为圆心，r为半径的圆周为积分回路L，则由安培环路定理
???B?dl??0?Ii
li得
r2?a2B2?r??0??(r?a)??0I2 2b?a22从而有
r2?a2B?
2?(b2?a2)r?0I
11-20 有一根很长的同轴电缆，由两个同轴圆筒状导体组成，这两个圆筒状导体的尺寸如题图11-19所示。在这两导体中，有大小相等而方向相反的电流I流过。求:
（1）内圆筒导体内各点（r?a）的磁感应强度B； （2）两导体之间（a?r?b）的B； （3）外圆筒导体内（b?r?c）的B； （4）电缆外（r?c）各点的B。
分析：应用安培环路定理求解。求外圆筒导体内（b?r?c）的B时，注意环路中电流的计
10
题图11-20