第一章 误差
1 问，，22分别作为π的近似值各具有几位有效数字？
7分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π= 592 65… 记x1=，x2=，x3=22.
7由π- x1= 59…= 40…知
11?10?3?|??x1|??10?4 22因而x1具有4位有效数字。
由π- x2= 59…= 59…知
1?10?3?|??x2|?1?10?2
22因而x2具有3位有效数字。
由π-22= 59 … 85…= 26…知
7 1?10?3?|??22|?1?10?2
272因而x3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。 分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。这里n=2,a1是1到9之间的数字。
*(x)|? |?r|x?x*|?1?10?n?1?1?10?2?1?5%
|x*|2a12?13 已知近似数的相对误差限为%，问x*至少有几位有效数字？
分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。 解 a1是1到9间的数字。
?r*(x)0.3%?3?10001?11?10?1??10?1 22?102?(9?1)2(a1?1)设x*具有n位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于%。 分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。 解 设取n位有效数字，由=…，故a1=9。
?r*(x)|?|x?x*|?1?10?n?1?0.01%?10?4
|x*|2a1解不等式1?10?n?1?10?4知取n=4即可满足要求。
2a15 计算1?1，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。
759760-2-2-5
解 1?1? 8×10-0.131 6×10=×10
759760结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算：
1?1?11??0.1734?10?5 6759760759?7600.5768?10就得到4位有效数字的结果。 此例说明，在数值计算中，要特别注意两相近数作减法运算时，有效数字常会严重损失，遇到这种情况，一般采取两种办法：第一，应多留几位有效数字；第二，将算式恒等变形，然后再进行计算。例如，当x接近于0，计算1?cosx时，应先把算式变形为
sinx1?cos2x1?cosx ??sinx
sinxsinx(1?cosx)1?cosx再计算。又例如，当x充分大时，应作变换
1?x?x?1
1?x?x1?1?1 xx?1x(x?1)6 计算a?(2?1)6，取2?1.4，采用下列算式计算： （1）
1； (2?1)6（2）99?702； （3）(3?22)3； （4）
1. (3?22)3问哪一个得到的结果最好？
解 显然
(2?1)6(2?1)61a?(2?1)?? 6(2?1)(2?1)66(2?1)6??(2?1)2??(3?22)3?99?702
3(2?1)6?111??36(2?1)?(2?1)2?(3?22)3
所以（1）≡（2）≡（3）≡（4），这4个算式是恒等的，但当取2?1.4计算时，因为（2），
（3）都涉及到两个相近数相减，使有效数字损失，而（1）在分母算式上的乘幂数比算式（4）大，所以算式（4）最好，事实上，当取2?1.4时，有|△x|<，再由f(x)的误差
f(x??x)?f(x)|?|f?(1.4)||?x|也可直接估计出每个算式的误差，显然，算式（4）误差最
小。
具体计算可行： （1）
1?5.2?10?3； 6(2?1)（2）99?702?1.0 （3）(3?22)3?8.0?10?3； （4）
1?5.1?10?3. 3(3?22)比较可得用第（4）个算式所得的结果更接近于a。
299
7 求二次方程x-(10+1)x+10=0的根。
2999
解 由于x-(10+1)x+10=（x-10）(x-1)，所以方程的两个根分别为
9
x1=10，x2=1
2
但如果应用一般二次方程ax+bx+c=0的求根公式：
?b?b2?4ac x1,2?
2a由于当遇到b>>4|ac|的情形时，有|b|?b2?4ac，则用上述公式求出的两个根中，总有一个因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠，如本例若在能将规格化的数表示到小
91010
数点后8位的计算机上进行计算，则-b=10+1=×10+ 000 0001×10，由于第二项最后两
9
位数“01”在机器上表示不出来，故它在上式的计算中不起作用，即在计算机运算时，-b=10.
通过类似的分析可得
所以，求得的两个根分别为
2
b2?4ac?|b|?109
?b?b2?4ac109?109??109 x1?2a2?b?b2?4ac109?109??0 x2?2a2显然，根x2是严重失真的。
为了求得可靠的结果，可以利用根与系数的关系式：x1x2?c，在计算机上采用如下
a公式：
x1??b?sgn(b)b2?4ac
2a x2?c
ax1其中，sgn（b）是b的符号函数，当b≥0时sgn（b）=1；当b<0时，sgn（b）=-1。显然，上述求根公式避免了相近数相减的可能性。
8 当N充分大时，如何计算
I??分析 函数
N?1N1dx 1?x1的原函数已知，我们自然考虑用Newton-Leibniz公式求这个定积分1?x2的值。由于N很大，这样会遇到两个相近的数相减，因此，应采用一些变换公式来避免这种
情况。
解 若用定积分的
Newton-Leibniz公式计算此题，有
?N?1N1?arctan(N?1)?arctanN，则当N充分大时，因为arctan（N+1）和arctanN1?x2非常接近，两者相减会使有效数字严重损失，从而影响计算结果的精度，这在数值计算中是要尽量避免的，但是通过变换计算公式，例如：令tanθ1=N+1, tanθ2=N，则由
1,得 tan(?1??2)?tan?1?tan?2?N?1?N?1?tan?1tan?21?(N?1)N1?(N?1)N ?1??2?arctan(N?1)?arctanN?arctan1
1?(N?1)N就可以避免两相近数相减引起的有效数字损失，从而得到较精确的结果。所以，当N充分大时，用
?N?1N1?arctan1计算积分的值较好。 21?x1?N?N29 计算积分In??xe01nx?1dx(n?1,2,?.
分析 数值计算中应采用数值稳定的算法，因此在建立算法时，应首先考虑它的稳定性。
解 利用分部积分法，有
?10xnex?1dx??xndex?1?xnex?1|??ex?1nxn?1dx?1?n?xn?1ex?1dx
00001111得递推公式：
In?I?nIn?1 I0?(n?1,2,L) （1）
dx?1?1
e?xe010x?1*时有大小为ε的误差，利用公式（1）计算In，由于初值I0有误差，不妨设求I0的近似值I0即
??I0?? I0则由递推公式（1）得
??I?I0???I1?? I1??I?I0??I?2I??I?2I1?2??I2?2!? I21??I?3I??I?3I2?3?2!??I3?3!? I32??I?4I??I?4I3?4?3!??I4?4!? I43┊
??In?(?1)nn!? In显然初始数据的误差ε是按n!的倍数增长的，误差传播得快，例如当n=10时，10！≈×
??I10|?10!?，这表明I10时已把初始误差ε扩大了很多倍，从而I?的误差已把I1010,|I10106
的真值淹没掉了，计算结果完全失真。
但如果递推公式（1）改成
In?1?1(I?In)(n?k,k?1,?3,2)
n于是，在从后往前计算时，In的误差减少为原来的1，所以，若取n足够大，误并逐步减小，
n显然，计算的结果是可靠的。所以，在构造或选择一种算法时，必须考虑到它的数值稳定性问题，数值不稳定的算法是不能使用的。
10 为了使计算
y?10?3?4?6 x?1(x?1)2(x?1)3的乘除法运算次数尽量地少，应将表达式改写为怎样的形式？
解 设t?1,y?10?(3?(4?6t)t)t. x?1在数值计算中，应注意简化运算步骤，减少运算次数，使计算量尽可能小。 11若x*=是x的具有六位有效数字的近似值，求x的绝对误差限。
12为使70的近似值的相对误差小于，问查开方表时，要取几位有效数字？ 13利用四位数学用表求x=1-cos2°的近似值，采用下面等式计算： （1）1-cos2°
2
（2）2sin1° 问哪一个结果较好？
14求方程x-56x+1=0的两个根，使它至少具有四位有效数字（已知783?27.982）。
2
15数列{x}?n?0满足递推公式
xn?10xn?1?1(n?1,2,?)
若取x02?1.41(三位有效数字)，问按上述递推公式，从x0计算到x10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？
16如果近似值x???(a1?a2?10?1?a3?10?2???an?10?n?1)?10m的相对误差限小于
1?10?n?1，证明：这个数具有n位有效数字。 2(a1?1)