PAM SOM
∴SOP
这是第二格的有效式AOO式。
四、三段论公理与三段论化归
三段论公理是三段论有效式的依据。所谓三段论公理，是说：凡是对一类对象的全部有所肯定或有所否定的，对该类对象的部分也必有所肯定或有所否定。换句话说，若断定一类对象的全部具有或不具有某种性质，也必然断定该类对象的部分具有或不具有这种性质。下图表现三段论公理的一种情况：
P M S P M S
左图表示，若M的全部外延都在P中，则M的部分外延S也在P中；从内涵的角度来说，即若M的全部对象都具有性质P，则M的部分对象S也具有性质P。右图表示，若M的全部外延都在P以外，则M的部分外延S也在P以外；亦即，若M的全部对象都不具有性质P，则M的部分对象也就不具有性质P。可见，三段论公理的正确性是很显然的。
不难看出，第一格的有效式AAA与EAE式最直接地体现了三段论公理。在传统逻辑中，为证明其他三段论形式的有效性，利用换质、换位等方法将这些格式改变成第一格的AAA式、EAE式，这就是所谓的三段论化归(或三段论还原)。
三段论化归根据了以下规则
规则l p，q ? r可化归为q，p ? r。
规则2 如果p ? s，那么p，q ? r可化归为s，q ? r 。 规则3 如果s ? r．那么p，q ? r可化归为p，q ? s 。 规则4 p，q ? r可化归为p，?r ? ?q 。
规则5 如果p≡s，那么p，q ? r可化归为s，q ? r；如果r≡s,那么，p，q ? r
可化归为p，q ? s。
139
其中，p、q、r、s都是性质判断。在推理形式p，q ? r中，p表示三段论的大前提，q表示小前提，r表示结论。
规则l显示，在化归过程中，一个三段论形式的大、小前提可交换位置。规则2、3分别表示在化归过程中，可以用一个较弱的前提或较强的结论去替换原前提或原结论。规则4显示，一个三段论形式的前提与结论可交换位置，以前提的负判断作为结论，以结论的负判断作为前提，而实现化归。规则5通常称作“等值置换规则”，它表明一推理形式的前提或结论可以用与该前提或结论相等值的判断来替换。
以上化归规则实际上都是推理规则，下文所介绍所谓三段论化归，就是根据以上规则将一个其他格式的三段论形式变形为三段论第一格AAA式或EAE式。显然，如果一个其他格式的三段论形式分别以P、M，S作为大、中、小项，那么，在化归所得的第一格的三段论形式中，这些变项的作用有可能会发生变化。不过，我们仍将结论的主项称作小项，将结论的谓项称作大项，将前提中出现了两次的项称作中项。并且，在化归所得的三段论形式中，大前提仍应排在第一个前提的位置上。
以下是一些化归的例子。
例1 将第四格的AEE式化归为第一格的EAE式。 解：第四格的AEE式为
PAM MES
∴SEP
我们可利用规则l，将其大、小前提交换位置，得
MES PAM
∴SEP
不过，所得结果并非第一格EAE式。因为，结论的主、谓项分别是S、P，而S、P作为大、小项却是分别出现在小前提、大前提中的，与三段论形式的规定不相符合。因此，化归过程到此还没有完成。为解决上述问题，我们可以利用规则3，根据SEP ? PES，由
MES PAM
∴SEP
140
再作进一步的化归，得出
MES PAM
∴PES
在后面这个三段论形式中，P表示小项,S表示大项，它符合三段论形式的规定，是第一格的EAE式。 上述化归过程可简略地表示为
解： PAM MES MES
MES 规则1 PAM 规则3 PAM
∴SEP ∴SEP ∴PES 也可表示为
PAM MES MES MES PAM ∵ SEP ? PES PAM ∴SEP ∴SEP ∴PES 再如，例2 将第三格的OAO式化归为第一格的AAA式。
解： MOP MAS MAS ?SOP
MAS 规则1 MOP 规则4 ?SOP 规则1 MAS
∴SOP ∴SOP ∴?MOP ∴?MOP
SAP
规则5 MAS
∴MAP
在上述化归过程中,第一、二、三步骤(即依次利用规则l、规则4、规则1,由 MOP MAS ∴SOP 化归为
?SOP
MAS ∴?MOP
141
的步骤)可以通过制订一条导出规则予以简化：
导出规则4a： p，q ? r，可化归为?r，q ? ?p。
比较规则4与导出规则4a，前者表示在化归过程中可以小前提的负判断作为结论，以结论的负判断作为小前提，后者表示在化归过程中可以大前提的负判断作为结论，以结论的负判断作为大前提。
运用导出规则4a，上述化归过程可简化为：
MOP ?SOP SAP MAS 导出规则4a MAS 规则5 MAS
∴SOP ∴?MOP ∴ MAP
类似地，还可以制订如下导出化归规则
导出规则2a：如果q ? s，那么，p，q ? r可化归为p，s ? r 。 导出规则5a：如果q≡s，那么，p，q ? r可化归为p，s ? r 。
应该指出的是，三段论化归从根本上讲并不是由其他格式的三段论形式推导出第一格的AAA式或EAE式。恰恰相反，这样的化归其实是由第一格的这两个有效式推导出其他格式的有效式，是通过第一格的这两个有效式来证明其他格式的有效式。由于第一格的AAA式、EAE式最直接地反映了三段论公理，因此，化归理论实质上就是由三段论公理推导、证明三段论有效式的理论。在亚里士多德创立古典逻辑理论中，这一点表现得非常明显。这种早期的公理化思想，在现代逻辑中得到了极大的发展。
按照形式逻辑教科书关于三段论化归的理论，一个三段论形式不必化归为第一格的AAA式或EAE式，通常只要求化归为第一格的有效式。例如，
例3 将第四格的AEE式化归为第一格的有效式。 解法一： PAM MES MES
MES PAM PAM
∴SEP ∴SEP ∴PES
解法二： PAM MES PAM PAM
MES ?SEP SIP SIP
∴SEP ∴?MES ∴MIS ∴SIM
142
五、用欧氏图分析三段论形式
利用欧拉图，可以对各种三段论形式进行较为直观的分析，显示出一个三段论形式是否为有效式。这种分析的实质在于说明，在作为大、小前提的判断形式为真的各种情况下，
作为结论的判断形式是否必然为真，即当前提真时结论是否为真；如果结果是肯定的，那么，前提与结论间便具有蕴涵关系。从而该三段论形式为有效式，反之便是非有效式。
例如，用欧氏图分析第三格的EAO式是否为有效式。我们用下表显示这一分析过程。
MEP、MAS M S P 为真的 情况 SOP
前提MEP、MAS都为真的情况一共有4种，在这4种情况下，结论SOP都为真。因此，第三格的EAO式是有效式。
关于MEP、MAS为真的情况，是将二者各自为真的情况加以结合而得出的。因为，MEP仅当M与P全异时为真，而MAS在M与S全同或M真包含于S时都为真。满足M与P全异且MS全同的情况，只有第一个图所表示的情况，至于满足M与P全异、M真包含于S这二者的，一共有三种情况，即后面的三个图示所表示的情况。
读者应该注意，在用欧氏图分析一个三段论形式时，需考虑在其大、小前提为真的各种情况下，其结论是否为真。如果所分析的三段论形式是一个有效式，那么在表示分析过程的表中，就得将大、小前提为真的所有情况无一遗漏地全部列出；如果所列情况不穷尽，则分析不正确。相反，倘若所分析的三段论形式是一非有效式，那么，就只需要指出其大、小前提均为真而结论为假的情况，由此便能说明其前提不蕴涵结论了。例如，对于第一格的AEE式
MAP SEM
∴ SEP
S M P S M P M P S 真 真 真 真 我们只需要指出，在下述情况下，
P M S 143