与PES、SEP、SAP是相互等值的，可以互推。由此可见，一直接推理若其前提、结论分属这两组判断形式，则其推理形式不是有效式，可将其错误归结为违反换位法规则。例如：
因为所有的哺乳动物都是胎生的，所以，所有的非哺乳动物都不是胎生的。
这个推理的形式为SAP ? SEP，不是有效式。因为，假设SAP ? SEP是有效式，那么由于SEP ? PES? PAS (SEP换位质)，应有SAP?PAS是有效式，违反换位法规则“在前提中不周延的词项在结论中不得周延”，故假设不成立。原推理形式非有效，原推理不正确。
对于其它三个角上的判断形式，也存在着类似的情形。例如：
因为有的固体是导体，所以，有的非固体是非导体。
这个推理的形式为
SIP ?SIP ，
这不是有效式。因为，假设SIP ?SIP是有效式，那么由于SOP? SIP（SOP换质），
SIP?PIS?POS(SIP换位、质)，故应有SOP?POS是有效式，违反换位法规则“在
前提中不周延的词项在结论中不得周延”，故假设不成立。原推理形式非有效。
图中同素材的(即主项相同且谓项相同的)判断形式之间仍具有第二章第二节所介绍的对当关系。例如PAS与PES之间具有反对关系，PAS与POS之间、PES与PIS之间具有矛盾关系，PAS与PIS之间、PES与POS之间具有差等关系， PIS与POS之间具有下反对关系。这样，再考虑到前述的等值关系，我们就可得知：图中任一判断形式都与8个判断形式之间具有反对(或下反对)关系，与8个判断形式之间具有差等关系，与4个判断形式之间具有矛盾关系。例如：
SAP与SEP、SAP、PAS、PES、PES、PAS SAP、SEP这8个判断之间具有反对关系。且以SAP与SEP之间具有反对关系为例加以说明：
PAS真；PES若SAP为真，由于SAP≡PAS，由于PAS与PES之间具有反对关系，
为假；由于PES≡SEP，SEP为假；从而若SAP为真则SEP为假。若SAP为假，由于
PAS为假；PES真假不定；SAP≡PAS，由于PAS与PES之间具有反对关系，由于PES≡SEP，SEP真假不定，从而，若SAP为假则SEP真假不定。同理可证若SEP为真则
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SAP为假，若SEP为假则SAP真假不定。因此，SAP与SEP之间具有反对关系。
SAP与SIP、SOP、POS、PIS、PIS、POS SOP、SIP这8个判断形式之间具有差等关系。
SAP与SOP、SIP、PIS、POS这4个判断形式之间具有矛盾关系。
值得注意的是，图中一判断形式只与对角的4个判断形式而非8个判断形式之间具有矛盾关系。例如：
SAP与POS、PIS、SIP、SOP这四个判断之间不具有矛盾关系。且以SAP与POS为例加以说明。假设SAP与POS之间具有矛盾关系，那么，若SOP为真，由于SOP与SAP之间具有矛盾关系，SAP为假，POS真，即若SOP真则POS真，SOP与POS之间具有蕴涵关系，从而应有SOP?POS是有效式，违反换位法规则“前提中不周延的项在结论中不得周延”。故假设不成立。
利用这种扩展了的对当关系，我们就可以得知：
(1)以图中上角(左上角或右上角)的任一判断形式为前提，综合运用换质、换位法推理，可以推出与其具有差等关系的8个判断形式。例如：
SEP ? SAP? PIS ? SIP? SOP (换质、换位、换位、换质) SEP ? SAP? PIS ? SIP (换质、换位、换位) SEP ? SAP? PIS (换质、位)
SEP ? SAP? PIS ?POS (换质、换位、换质)
SEP ? PES ? PAS ?SIP ? PIS ? POS(换位、换质、换位、换位、换质) SEP ? PES ? PAS ? SIP ? PIS(换位、换质、换位、换位) SEP ? PES ? PAS ? SIP (换位、换质、换位)
SEP ? PES ? PAS ? SIP ? SOP (换位、换质、换位、换质)
这是以SEP为前提，综合运用换质、换位法推理，推出与其具有差等关系的8个判断形式SOP 、SIP、PIS、POS、POS、PIS、SIP、SOP的推理过程。
从这些推理过程中，我们可以看到，换质、换位法不一定要交替运用。有时，我们可以
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连续运用换位法，例如，
SAP? PIS ? SIP
其次，在有的情况下，运用对当关系推理中的差等关系推理，比运用换质、换位法推理更为简捷。例如，
SEP ? SAP? PIS ? SIP? SOP
这样的过程若运用差等关系推理，可直接简化为
SEP?SOP
再如
SEP?POS
若运用差等关系推理，可由上述五个步骤简化为
SEP?PES?POS(换位、差等关系推理)。
(2)以图中上角(左上角或右上角)的任一判断形式为前提，综合运用换质、换位法与反对关系推理，可推出8个反对判断的负判断形式。例如：
SAP??SEP (反对关系推理)
SAP?SEP??SAP (换质、反对关系推理) SAP?SEP?PES ??PAS (换质位、反对关系推理)
SAP?SEP?PES?PAS??PES(换质、换位、换质、反对关系推理)
SAP?SEP?PES?PAS??PES ??SEP(换质、换位、换质、反对关系推理、
换位)
SAP?SEP?PES?PAS??PES ??SEP??SAP(换质、换位、换质、反对
关系推理、换位、换质)
SAP ? ?SEP ??PES ? ?PAS (反对关系推理、换位、换质) SAP ? ?SEP ??PES (反对关系推理、换位)
(3)以图中上角的任一判断形式为前提，综合运用换质、换位法与矛盾关系推理，可推出4个矛盾判断的负判断形式；以图中上角的任一判断形式的负判断形式为前提，综合运用换质、换位法与矛盾关系推理，可推出4个矛盾判断形式。例如：
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SAP ? ?SOP (说明从略，请读者自己分析。下同。) SAP ? SEP? ?SIP SAP ? SEP?PES ? ?PIS
SAP ? SEP?PES ?PAS ? ?POS
?SAP ? SOP ?SAP ? SOP ? SIP ?SAP ? SOP ? SIP ? PIS ?SAP ? SOP ? SIP? PIS ?POS
(4)以图中下角(左下角或右下角)的任一判断形式为前提，综合运用换质、换位法与矛盾关系推理，可推出4个矛盾判断形式的负判断形式；以图中下角的任一判断形式的负判断形式为前提，综合运用换质、换位法与矛盾关系推理，可推出4个矛盾判断形式。(请读者自己举例分析。下同。)
(5)以图中下角的任一判断形式的负判断形式为前提，综合运用换质、换位法与差等关系推理．可推出8个差等判断形式的负判断形式。
(6)以图中下角的任一判断形式的负判断形式为前提，综合运用换质、换位法与下反对关系推理，可推出8个下反对判断形式。
上述扩展了的逻辑方阵可以有助于我们识别一直接推理的形式是否有效式。在其为有效式时，可以帮助我们分析其推理过程；在其为非有效式时，可以帮助我们分析其错误之所在。例如；
因为所有的商品都是有交换价值的，所以，有的没有交换价值的不是商品。 这个推理的形式为SAP?POS。由上述逻辑方阵容易看出，它是一个有效式。其推理过程为：
SAP?SEP?PES?PAS?SIP?PIS?POS (或：SAP?SEP?PES?POS，
说明从略，请读者自己分析。)
再如：
有的自己发光的天体不是非行星，因为一切行星都不是自己发光的天体。
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这个推理的形式为SEP? POS，由上述方阵不难看出，它不是有效式(因为POS≡SIP，而SIP与SEP之间具有矛盾关系。)其具体分析如下：假设SEP? POS是有效式，由于POS?PIS?SIP，故应有SEP?SIP是有效式，违反SEP与SIP之间具有矛盾关系的原理，所以假设不成立，原推理形式不是有效式，原推理不正确。
分析上述逻辑方阵，读者还可以发现一些特征。比如，
任一角上的8个判断形式中，其上面一行4个判断形式与下面一行4个判断形式的区别仅在于S、P的位置相反(如PES的下面是SEP，SIP的下面是 PIS)。
左上角的8个判断形式为S、P上都不带“非”或都带“非”的A判断、只带一个“非”的E判断；右上角的8个判断式为S、P上都不带“非”或都带“非”的E判断、只带一个“非”的A判断；左下角的8个判断形式为S、P上都不带“非”或都带“非”的I判断、只带一个“非”的O判断；右下角的8个判断形式为S、P上都不带“非”或都带“非”的O判断、只带一个“非”的I判断。由此，只从形式上便很容易判别一个直接推理形式是否为有效式。例如：
以SEP为前提，运用直接推理，可以推出( )。
①POS ②SOP ③PIS ④SOP
由于SEP是S、P上带一个“非”的E判断，应在逻辑方阵的左上角，故答案为①、②(它们是S、P上带一个“非”的O判断，应在方阵左下角)。
第三节 三段论
三段论是一种性质判断的间接推理。有关三段论的理论是形式逻辑的一个重点内容，其中也包含有若干难点问题。三段论理论的基础是第二章第二节所介绍的性质判断的理论。特别是有关性质判断主、谓项的周延性问题的论述。传统逻辑的三段论理论也是限于全称、特称判断范围之内的。不过，在本节，我们也要介绍以单称判断作为前提或结论的三段论。
一、三段论及其组成
三段论是由两个具有一个共同词项的性质判断作前提得出一个新的性质判断的推理。
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