河北科技师范学院教案 编号 13 学年度 第 学期
系 （部） 数 理 系 教研室 数 学 任课教师 课程名称 线性代数
授课章节：第四章 线性方程组、矩阵的特征值问题
第一节 齐次线性方程组 授课班级 授课日期 课 题 教学目的 及 要 求 教学重点 难 点 教法、教具 第一节 齐次线性方程组 性方程组的通解的方法。 齐次线性方程组解的结构定理求基础解系和通解的方法。 求齐次线性方程组的基础解系的方法及其证明。 讲授法 课堂设计（教学内容、过程、方法、图表等） （一） 回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。 （二） 引入新课。 第一节 齐次线性方程组 回顾解非齐次线性方程组的克拉默法则 线性方程组Am?nx?bm?1 （1） 和线性方程组Am?nx?0m?1 （2） 1． 基本概念 定义：m个方程n个未知量的线性方程组 （2）称为齐次线性方程组；当b?0时，（1）称为非齐次线性方程组。 定义：若x??1?(?11,?21,?,?n1)T满足（1）或（2），则称其为（1）的解向量或（2）的解。 2．解的判断 定理4.1 含有n个未知量的齐次线性方程组Ax?0有非零解?R(A)?n；只有零解的 时间分配 时 数 2 使学生掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的概念和解的结构定理以及求齐次线?????r?n。 ??Ax?0的系数矩阵是方阵，则方程组有非零解的充分必要条件是|A|=0。 推论1 如果推论2 如果方程的个数小于未知数的个数，则方程组Ax?0必有非零解。 3．解的结构 定理4.2 设?1,?2,?,?s是方程组Ax?0的解，则它们的任意的线性组合k1?1?k2?2???ks?s也是方程组的解。 ????定义（基础解系）：设?1,?2,?,?s是方程组Ax?0的一组解向量，如果满足如下条件： （1）?1,?2,?,?s线性无关； （2）方程组的任意一个解向量都可以用?1,?2,?,?s线性表示， 则称?1,?2,?,?s是齐次线性方程组的一个基础解系。 下面给出齐次线性方程组（2）的解的解构定理 ????定理4.3 n元齐次线性方程组Am?nx?0，当其系数矩阵的秩R(A)?r?n时，则方程组的基础解系存在，且基础解系中含有n?r个解向量。 ???????若?1,?2,?,?n?r是方程组Am?nx?0的基础解系，则Am?nx?0的通解为???S?{x?k1?1???k?n?rk1,?,kn?r?R}。 ?x1?2x2?3x3?x4?0??5x1?4x2?4x3?4x4?0例1 求解方程组? 3x?2x?2x?0134???2x1?2x2?5x3?x4?0 提示：由定理4.3的证明过程得知，求解齐次方程组的基础解系，只需对系数矩阵进行行的初等变换，对齐次线性方程组中的自由未知量只需取单位向量，比如，自由未知量的个数为s个，则基础解系中解的个数就有s个。 (??3)x1?x2?0??例2 问?取何值时，齐次线性方程组?有非零解。 4x1?(??1)x2?0??4x?8x?(??2)x?0123?提示：由推论1知，系数矩阵是方阵，则方程组有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零。 例3 设A是n阶方阵，证明r(An)?r(An?1)。 提示：欲证明r(An)?r(An?1)，只需证明Anx?0与An?1x?0同解。 （三） 总结本次课所讲主要内容 （四） 布置作业 作 业 作业 P119：Ex2，3。 参考文献 参考文献 同前 课后 小结 教研室主任（签字）：