计量经济学:一元线性回归模型和多元线性回顾模型习题以及解析

?是OLS估计量。 可见?1例5.假设模型为Yt????Xt??t。给定n个观察值(X1,Y1),(X2,Y2),?,

(Xn,Yn),按如下步骤建立?的一个估计量:在散点图上把第1个点和第2个点连接起来

并计算该直线的斜率;同理继续,最终将第1个点和最后一个点连接起来并计算该条线的斜

?,即?的估计值。 率;最后对这些斜率取平均值,称之为??的几何表示并推出代数表达式。 (1)画出散点图,给出??的期望值并对所做假设进行陈述。这个估计值是有偏的还是无偏的?解(2)计算?释理由。

(3)证明为什么该估计值不如我们以前用OLS方法所获得的估计值,并做具体解释。 解答:

(1)散点图如下图所示。

(X2,Y2) (Xn,Yn)

(X1,Y1)

首先计算每条直线的斜率并求平均斜率。连接(X1,Y1)和(Xt,Yt)的直线斜率为

(Yt?Y1)/(Xt?X1)。由于共有n-1条这样的直线,因此

1t?nYt?Y1???] ?[n?1t?2Xt?X1(2)因为X非随机且E(?t)?0,因此

E[Yt?Y1(???Xt??t)?(???X1??1)???1]?E[]???E[t]??

Xt?X1Xt?X1Xt?X1这意味着求和中的每一项都有期望值?,所以平均值也会有同样的期望值,则表明是无偏的。

(3)根据高斯-马尔可夫定理,只有?的OLS估计量是最付佳线性无偏估计量,因此,

?的有效性不如?的OLS估计量,所以较差。 这里得到的?

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例6.对于人均存款与人均收入之间的关系式St????Yt??t使用美国36年的年度数据得如下估计模型,括号内为标准差:

??384.105?0.067YStt(151.105)R2

(0.011)

??19.092 3=0.538 ?(1)?的经济解释是什么?

(2)?和?的符号是什么?为什么?实际的符号与你的直觉一致吗?如果有冲突的话,你可以给出可能的原因吗?

(3)对于拟合优度你有什么看法吗?

(4)检验是否每一个回归系数都与零显著不同(在1%水平下)。同时对零假设和备择假设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。你的结论是什么?

解答:

(1)?为收入的边际储蓄倾向,表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变化量。

(2)由于收入为零时,家庭仍会有支出,可预期零收入时的平均储蓄为负,因此?符号应为负。储蓄是收入的一部分,且会随着收入的增加而增加,因此预期?的符号为正。实际的回归式中,?的符号为正,与预期的一致。但截距项为负,与预期不符。这可能与由于模型的错误设定形造成的。如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为,省略该变量将对截距项的估计产生影响;另一种可能就是线性设定可能不正确。

(3)拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中53.8%的拟合优度,表明收入的变化可以解释储蓄中53.8 %的变动。

(4)检验单个参数采用t检验,零假设为参数为零,备择假设为参数不为零。双变量情形下在零假设下t 分布的自由度为n-2=36-2=34。由t分布表知,双侧1%下的临界值位于2.750与2.704之间。斜率项计算的t值为0.067/0.011=6.09,截距项计算的t值为384.105/151.105=2.54。可见斜率项计算的t 值大于临界值,截距项小于临界值,因此拒绝斜率项为零的假设,但不拒绝截距项为零的假设。

三、习题

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(一)基本知识类题型 2-1.解释下列概念: 1) 总体回归函数 2) 样本回归函数 3) 随机的总体回归函数 4) 线性回归模型

5) 随机误差项(ui)和残差项(ei) 6) 条件期望 7) 非条件期望 8) 回归系数或回归参数 9) 回归系数的估计量 10) 最小平方法

2-2.判断正误并说明理由:

1) 随机误差项ui和残差项ei是一回事

2) 总体回归函数给出了对应于每一个自变量的因变量的值 3) 线性回归模型意味着变量是线性的

4) 在线性回归模型中,解释变量是原因,被解释变量是结果 5) 随机变量的条件均值与非条件均值是一回事

2-3.回答下列问题:

1) 线性回归模型有哪些基本假设?违背基本假设的计量经济学模型是否就不可估计? 2) 总体方差与参数估计误差的区别与联系。 3) 随机误差项ui和残差项ei的区别与联系。

4) 根据最小二乘原理,所估计的模型已经使得拟合误差达到最小,为什么还要讨论模型的

拟合优度问题?

5) 为什么用决定系数R2评价拟合优度,而不用残差平方和作为评价标准? 6) R2检验与F检验的区别与联系。 7) 回归分析与相关分析的区别与联系。

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11) 最大似然法 12) 估计量的标准差 13) 总离差平方和 14) 回归平方和 15) 残差平方和 16) 协方差 17) 拟合优度检验 18) t检验 19) F检验

8) 最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什么?说明它们有何区别? 9) 为什么要进行解释变量的显著性检验?

10) 是否任何两个变量之间的关系,都可以用两变量线性回归模型进行分析?

2-2.下列方程哪些是正确的?哪些是错误的?为什么?

t?1,2,?,n ⑴ yt????xtt?1,2,?,n ⑵ yt????xt??t?x?????⑶ yt??tt?x??????t??⑷ ytt?x???⑸ yt??t?x????t??⑹ yt?x??????t⑺ yt??t?x??????t?t??⑻ ytt?1,2,?,n t?1,2,?,n t?12,,?,n t?12,,?,n

t?1,2,?,n t?1,2,?,n

其中带“^”者表示“估计值”。

2-3.下表列出若干对自变量与因变量。对每一对变量,你认为它们之间的关系如何?是正的、负的、还是无法确定?并说明理由。

因变量 GNP 个人储蓄 小麦产出 美国国防开支 棒球明星本垒打的次数 总统声誉 学生计量经济学成绩 日本汽车的进口量 利率 利率 降雨量 前苏联国防开支 其年薪 任职时间 其统计学成绩 美国人均国民收入 自变量

(二)基本证明与问答类题型

2-4.对于一元线性回归模型,试证明: (1)E(yi)????xi (2)D(yi)??

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