?是OLS估计量。 可见?1例5．假设模型为Yt????Xt??t。给定n个观察值(X1,Y1)，(X2,Y2)，?，
(Xn,Yn)，按如下步骤建立?的一个估计量：在散点图上把第1个点和第2个点连接起来
并计算该直线的斜率；同理继续，最终将第1个点和最后一个点连接起来并计算该条线的斜
?，即?的估计值。 率；最后对这些斜率取平均值，称之为??的几何表示并推出代数表达式。 （1）画出散点图，给出??的期望值并对所做假设进行陈述。这个估计值是有偏的还是无偏的？解（2）计算?释理由。
（3）证明为什么该估计值不如我们以前用OLS方法所获得的估计值，并做具体解释。 解答：
（1）散点图如下图所示。
（X2,Y2） （Xn,Yn）
（X1,Y1）
首先计算每条直线的斜率并求平均斜率。连接(X1,Y1)和(Xt,Yt)的直线斜率为
(Yt?Y1)/(Xt?X1)。由于共有n－1条这样的直线，因此
1t?nYt?Y1???] ?[n?1t?2Xt?X1（2）因为X非随机且E(?t)?0，因此
E[Yt?Y1(???Xt??t)?(???X1??1)???1]?E[]???E[t]??
Xt?X1Xt?X1Xt?X1这意味着求和中的每一项都有期望值?，所以平均值也会有同样的期望值，则表明是无偏的。
（3）根据高斯－马尔可夫定理，只有?的OLS估计量是最付佳线性无偏估计量，因此，
?的有效性不如?的OLS估计量，所以较差。 这里得到的?
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例6．对于人均存款与人均收入之间的关系式St????Yt??t使用美国36年的年度数据得如下估计模型，括号内为标准差：
??384.105?0.067YStt(151.105)R2
(0.011)
??19.092 3＝0.538 ?（1）?的经济解释是什么？
（2）?和?的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？
（3）对于拟合优度你有什么看法吗？
（4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。同时对零假设和备择假设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。你的结论是什么？
解答：
（1）?为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变化量。
（2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此?符号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期?的符号为正。实际的回归式中，?的符号为正，与预期的一致。但截距项为负，与预期不符。这可能与由于模型的错误设定形造成的。如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为，省略该变量将对截距项的估计产生影响；另一种可能就是线性设定可能不正确。
（3）拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中53.8%的拟合优度，表明收入的变化可以解释储蓄中53.8 %的变动。
（4）检验单个参数采用t检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。双变量情形下在零假设下t 分布的自由度为n-2=36-2=34。由t分布表知，双侧1%下的临界值位于2.750与2.704之间。斜率项计算的t值为0.067/0.011=6.09，截距项计算的t值为384.105/151.105=2.54。可见斜率项计算的t 值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。
三、习题
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（一）基本知识类题型 2-1．解释下列概念： 1) 总体回归函数 2) 样本回归函数 3) 随机的总体回归函数 4) 线性回归模型
5) 随机误差项（ui）和残差项（ei） 6) 条件期望 7) 非条件期望 8) 回归系数或回归参数 9) 回归系数的估计量 10) 最小平方法
2-2．判断正误并说明理由：
1) 随机误差项ui和残差项ei是一回事
2) 总体回归函数给出了对应于每一个自变量的因变量的值 3) 线性回归模型意味着变量是线性的
4) 在线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果 5) 随机变量的条件均值与非条件均值是一回事
2-3．回答下列问题：
1) 线性回归模型有哪些基本假设？违背基本假设的计量经济学模型是否就不可估计？ 2) 总体方差与参数估计误差的区别与联系。 3) 随机误差项ui和残差项ei的区别与联系。
4) 根据最小二乘原理，所估计的模型已经使得拟合误差达到最小，为什么还要讨论模型的
拟合优度问题？
5) 为什么用决定系数R2评价拟合优度，而不用残差平方和作为评价标准？ 6) R2检验与F检验的区别与联系。 7) 回归分析与相关分析的区别与联系。
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11) 最大似然法 12) 估计量的标准差 13) 总离差平方和 14) 回归平方和 15) 残差平方和 16) 协方差 17) 拟合优度检验 18) t检验 19) F检验
8) 最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什么？说明它们有何区别？ 9) 为什么要进行解释变量的显著性检验？
10) 是否任何两个变量之间的关系，都可以用两变量线性回归模型进行分析？
2-2．下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？
t?1,2,?,n ⑴ yt????xtt?1,2,?,n ⑵ yt????xt??t?x?????⑶ yt??tt?x??????t??⑷ ytt?x???⑸ yt??t?x????t??⑹ yt?x??????t⑺ yt??t?x??????t?t??⑻ ytt?1,2,?,n t?1,2,?,n t?12,,?,n t?12,,?,n
t?1,2,?,n t?1,2,?,n
其中带“＾”者表示“估计值”。
2-3．下表列出若干对自变量与因变量。对每一对变量，你认为它们之间的关系如何？是正的、负的、还是无法确定？并说明理由。
因变量 GNP 个人储蓄 小麦产出 美国国防开支 棒球明星本垒打的次数 总统声誉 学生计量经济学成绩 日本汽车的进口量 利率 利率 降雨量 前苏联国防开支 其年薪 任职时间 其统计学成绩 美国人均国民收入 自变量
（二）基本证明与问答类题型
2-4．对于一元线性回归模型，试证明： （1）E(yi)????xi （2）D(yi)??
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