第5章 含有耦合电感的电路
内容提要
本章主要介绍耦合电感的基本概念和基本特性，同时介绍同名端的概念及使用方法，重点介绍采用消耦法求解含有耦合电感电路的分析计算方法，最后介绍空心变压器及理想变压器的工作原理，特性方法式及其分析计算方法。
§5.1 互感
当一个线圈通过电流时，在线圈的周围建立磁场，如果这个线圈邻近还有其它线圈，则载流线圈产生的磁通不仅和自身交链，而且也和位于它附近的线圈交链，则称这两线圈之间具有磁的耦合或说存在互感。载流线圈的磁通与自身线圈交链的部分称为自感磁通，与其它线圈交链的部分称为互感磁通。
5.1.1互感及互感电压
如图5-1所示，两组相邻线圈分别为线圈I和线圈Ⅱ，线圈I的匝数为N1，线圈Ⅱ的匝数为N2。设电流i1自线圈I的“1”端流入，按右手螺旋定律确定磁通正方向如图5-1所示，由i1产生磁通?11全部交链线圈I的N1匝线圈，而其中一部分?21，不仅交链线圈I而且交链线圈Ⅱ的N2匝线圈，我们定义?11是线圈I的自感磁通，?21是线圈I对线圈Ⅱ的互感磁通。这里的线圈I通过电流i1产生了磁通，我们将这种通有电流的线圈称为载流线圈或施感线圈，流经线圈的电流称为施感电流。同理如果在线圈Ⅱ中通入电流i2，由电流i2也会产生线圈Ⅱ的自感磁通?22和线圈Ⅱ对线圈I的互感磁通?12。
说明：磁通（链）下标的第一个数字表示该磁通链所在线圈的编号，第二个数字表示产生该磁通（链）的施感电流的编号，接下来研究的使用双下标符号的物理量，其双下标的含义均同上。
当载流线圈中的施感电流随着时间变化时，其产生的磁通链也随之变化。根据法拉第电磁感应定律，这种时变磁通在载流线圈内将会产生感应电压。
设通过线圈I的总磁通为?1，则有
?1??11??12 (5-1)
其中自感磁通?11与N1匝线圈交链，对于线性电感则有自感磁通链?11为
?11?N1?11?L1i1 (5-2)
式(5-2)中，L1称为线圈I的自感系数，简称自感，单位为亨利简称亨（H）。
1
?21+ -u11Ⅰu21+ -Ⅱ
图 5-1 互感和互感电压
当感应电压与施感电流取关联参考方向时，自感电压与施感电流的关系式为
u11?d?11dL1i1di??L11 (5-3) dtdtdt设由i2产生的磁通中部分磁通?12与线圈I的N1匝交链，则有互感磁通链
?12?N1?12?M12i2 (5-4)
式(5-4)中，M12称为线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的互感系数，简称互感，单位为亨利简称亨（H）。 当载流线圈的施感电流随着时间变化时，其产生的互感磁通链也随之变化。根据法拉第电磁感应定律，这种时变磁通在与其具有磁耦合的线圈内产生感应电压，称为互感电压。
当互感电压的参考方向与互感磁通满足右手螺旋关系时，则有
u12?d?12dM12i2di??M122 (5-5) dtdtdt?11?21?22把具有磁耦合的一对线圈理想化，即忽略线圈的电阻和匝间电容，称为耦合电感。
?11?21?22?12i1?12i1i211?i211?22?
图5-2 耦合电感
22?
(a) (b)
同理，设电流i2自线圈Ⅱ的“2”端流入，如图5-2（a）所示，设通过线圈Ⅱ的总磁通为?2，有
?2??22??12
其中自感磁通?22与N2交链，则有自感磁通链
?22?N2?22?L2i2 (5-6)
式中L2为线圈Ⅱ的自感系数，单位H (亨利)。
设i1所产生的磁通中有部分?21与线圈Ⅱ的N2匝线圈交链，则互感磁通链
?21?N2?21?M21i1 (5-7)
2
式(5-7)中M21为线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的互感系数，可以证明M21?M12?M。
在图5-2（a）中自感磁通与互感磁通具有相同的方向，因此每个线圈的总的磁通链分别为自感磁链与互感磁链之和
?1??11??12?N1(?11??12)?L1i1?Mi2 (5-8)
?2??22??21?N2(?22??21)?L2i2?Mi1 (5-9)
当施感电流与该线圈的端口电压取关联参考方向时有
u1?d?1didi?L11?M2?u11?u12 (5-10) dtdtdtu2?d?2didi?L22?M1?u22?u21 (5-11) dtdtdt其中u11、u22表示自感电压，u12、u21表示互感电压，可见端口1?1?处的电压u1和端口2?2?处的电压u2是自感电压与互感电压之和，
在不改变绕线方向的前提下，将电流i2自线圈Ⅱ的“2?”端流入，如图5-2（b）所示。 根据右手螺旋定则可以判定自感磁通与互感磁通方向相反，因此每个线圈的总的磁通链分别为自感磁链与互感磁链之差：
?1??11??12?N1(?1??12)?L1i1?Mi2
?2??22??21?N2(?2??21)?L2i2?Mi1
当施感电流与该线圈的端口电压取关联参考方向时有：
u1?d?1didi?L11?M2?u11?u12 (5-12) dtdtdtd?2didi?L22?M1?u22?u21 (5-13) dtdtdtu2?其中u11、u22表示自感电压，u12、u21表示互感电压，可见端口1?1?处的电压u1和端口2?2?处的电压u2是自感电压与互感电压之差，
通过上述分析可知，在磁耦合中互感的作用有两种，一种是互感磁通链与自感磁通链方向一致，同极性迭加使磁场得到了加强，称为同向耦合。一种是互感磁通链总是与自感磁通链方向相反，使得反极性迭加磁场削弱，此时称为反向耦合。互感磁通与自感磁通的方向相同还是相反，不仅与线圈的绕行方向有关，而且与施感电流的方向有关。
3