1．3.1 三角函数的周期性
课堂导学
三点剖析
1.周期函数与周期的意义
【例1】 求下列三角函数的周期. （1）y=sin(x+
?x?);（2）y=3sin(+).
253?,而sin(2π+z)=sinz, 3思路分析：运用周期函数的定义即可. 解：（1）令z=x+
即f(2π+z)=f(z), f［(2π+x)+
??］=f(x+). 33∴周期T=2π. (2)令z=
x?+, 25则f(x)=3sinz =3sin(z+2π)
x?++2π) 25x?4???) =3sin(
25=3sin(
=f(x+4π).
∴T=4π. 温馨提示
理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x满足f(x+T)=f(x),而非某一个x值.也可用公式T=
2??求周期.
2.判断函数是否具有周期性和求周期 【例2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x的周期为π; (2)y=|sinx|+|cosx|的周期为
?. 2思路分析：观察特征，运用定义. 证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x), ∴y=cos2x+sin2x的周期是π.
???)=|sin(x+)|+|cos(x+)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), 222?∴y=|sinx|+|cosx|的周期是.
2(2)f(x+
温馨提示
“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.
3.判断函数是否具有周期性
【例3】证明y=sin|x|不是周期函数. 思路分析：运用定义进行证明.
证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T，则sin|x+T|=sin|x|(x∈R).
?时， 2??令x=,得sin|+T|
22???=sin||?sin(+T)=sin?cosT=1;
222???令x=-,得sin|-+T|=sin|-|
222???sin(-+T)=sin
22?-cosT=1?cosT=-1.
?由此得1=-1,这一矛盾说明T≥不可能.
2?(2)当T≤-时,
2令x=x′-T得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|?sin|x′-T|=sin|x′|,即-T是函数的周期.但
?-T≥,由(1)知这是不可能的.
2??(3)当-＜T＜时,
22令x=0得,sin|T|=sin|0|?sinT=0?T=0(周期不为零).
(1)当T≥
由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数. 温馨提示
进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立. 各个击破 类题演练1
求下列函数的最小正周期. （1）f(x)=3sinx; (2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(
1?x?). 24解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.
(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π), 函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(
1?1?1??x?)=2sin(x?+2π)＝2sin［(x+)+］=f(x+4π),函数的2424244最小正周期为4π.
变式提升1
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈
［0,
?5］时,f(x)=sinx,则f(π)的值为（ ）
321133 B.C.?D.
2222555??3π)=f(-π)=f(-π+2π)=f()=sin=. 333332A.?解析：由题意:f(
答案：D
类题演练2
设f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，
2
f(x)=-2(x-3)+4，求x∈［1,2］时，f(x)的解析表达式. 解：当x∈［-3,-2］时，-x∈［２，3］. ∵f(x)是偶函数，
22
∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)+4=-2(x+3)+4. 又∵f(x)是以2为周期的周期函数， 当x∈［1,2］时，-3≤x-4≤-2,
22
∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］+4=-2(x-1)+4.
2
∴f(x)=-2(x-1)+4(1≤x≤2). 变式提升2
2
定义在R上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x∈(-2,2)时，f(x)=x+1，则x∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.
解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，
∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期. 当x∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).
22
∴f(x)=f(x+4)=(x+4)+1=x+8x+17.
2
答案：x+8x+17 类题演练3
证明下列函数不是周期函数.
32
（1）y=x;(2)y=sinx.
33
证明：（1）因为y=x在x∈R上单调，设y取到值a,方程x=a不可能有两个不同的根，因
3
此y=x不是周期函数.
222
（2）设函数y=sinx是周期函数，周期为T，那么对所有的x∈R，sin(x+T)=sinx.由x的任意性，T=0，所以函数y不可能是周期函数. 变式提升3
(1)证明f（x)=1(x∈R)是周期函数，但没有最小正周期.
证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.
(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x∈R恒成立,又当0≤x≤1
2
时,f(x)=-x+4.
①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期; ②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.
①证明：∵f(x)定义域为R且f(x-1)=f(x+1), ∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).
则f(x)的一个周期为2,且2n(n∈Z,n≠0)都是y=f(x)的周期.