课堂达标(二十五) 平面向量的数量积与平面向量应用举例
[A基础巩固练]
π
1．(2018·衡水模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|等于( )
3A．2 C．23
B．6 D．12
π222
[解析] |4a－b|＝16a＋b－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos ＝12.∴|4a－b|＝
323.
[答案] C
2．(2018·江西重点高中模拟考试)在△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD→→→→
的中点，若AB·AC＝－1，AB＝2AC＝2，则CE·AF的值为( )
3A. 41C. 8
3B. 81D. 4
→1→1→→→→→1→→→→1→
[解析] 因为AF＝AD＝(AB＋AC)，CE＝AE－AC＝AB－AC，所以CE·AF＝(AB＋
2424113→?1→→?1→21→→1→21
AC)?AB－AC?＝AB－AB·AC－AC＝×4－×(－1)－＝，应选答案B.
848848?2?8
[答案] B
→2→→→→→→
3．(2018·郑州市质检)在△ABC中，若AB＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是( ) A．等边三角形 C．钝角三角形
B．锐角三角形 D．直角三角形
→2→→→→→→2→→→→→→[解析] 依题意得AB＝AB·(AC＋CB)＋CA·CB＝AB＋CA·CB，所以CA·CB＝0，CA⊥CB，△ABC是直角三角形，故选D.
[答案] D
2π4．(2018·吉大附中第七次模拟)设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝－3e2，
3则a在b方向上的投影为( )
33A．－
23C. 2
3B．－
2D.33
2
21
[解析] 由题意可得：e1·e2＝1×1×cosπ＝－，
32
a·b＝(e1＋2e2)·(－3e2)＝－3e1·e2＋6e22＝－，
|a|＝9
2
e1＋2e2
2
＝3，|b|＝3，
3＝－.
23×39
－2
据此可得：a在b方向上的投影为本题选择B选项． [答案] B
1
5．(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm3＋n)，则实数t的值为( )
A．4 9C. 4
B．－4 9D．－
4
[解析] ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0， 即tm·n＋|n|＝0，
∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|＝0. 3212
又4|m|＝3|n|，∴t×|n|×＋|n|＝0，
43解得t＝－4. 故选B. [答案] B
→→→→→→
6．(2018·江西宜春二模)已知向量OA与OB的夹角为θ，|OA|＝2，|OB|＝1，OP＝tOA，→
2
2
OQ＝(1－t)OB，|PQ|在t0时取最小值，当0 →→ 14 ?1?A.?－，0? ?2??1?C.?，1? ?4? 1??1 B.?－，－? 4??2 ?11?D.?－，? ?24? [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意有：A(2,0)，B(cos θ，sin θ)， →→→→ 由向量关系可得：OP＝tOA＝(2t,0)，OQ＝(1－t)OB＝((1－t)cos θ，(1－t)sin θ)， →→→则：|PQ|＝|OQ－OP|＝→ 整理可得：|PQ|＝－ 满足题意时：t0＝－ －t＋4cos θ＋4cos θ＋4cos θ 3θ＋θ－2t]＋ 2 －tθ]， 2 t2－ ＋4cos θ 3 t＋1， θ＋ ， 1＝－2 1<， 4 1 据此可得三角不等式：0<－2 11?11?解得：－ →→→→→ 7．(2017·天津)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ→→ ∈R)，且AD·AE＝－4，则λ的值为______． →→→1→2→→→?1→2→?→ [解析] AB·AC＝3×2×cos 60°＝3，AD＝AB＋AC，则AD·AE＝?AB＋AC?(λAC－ 3?33?3→ AB)＝×3＋ [答案] λ 32λ123×4－×9－×3＝－4?λ＝. 33311 3 11 8．(2018·江西省七校联考)已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若向量λa＋b与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______． [解析] 依题意，(λa＋b)·(a＋λb)＝λa＋λb＋(λ＋1)a·b>0，即4λ＋18λ－9＋65－9－65 ＋4>0，由此解得λ>或λ<.注意到当λa＋b与a＋λb同向共线时， 44λ＝1，(λa＋b)·(a＋λb)>0.因此，所求的实数λ－9－65 λ<且λ≠1. 4 的取值范围是λ> －9＋65 或4 2 2 2 2