＝
2k?2xπ?ksin?－?－， 2?34?2
2－
2
因为x∈R，所以f(x)的最大值为则k＝1. (2)由(1)知f(x)＝所以f(A)＝化简得sin?
k＝2－1
， 2
2?2xπ?1sin?－?－， 2?34?2
2?2Aπ?1
sin?－?－＝0， 2?34?2
?2A－π?＝2.
??34?2
ππ2Aπ5π因为 21234122Aππ3π则－＝，解得A＝. 3444 2b＋c－ab＋c－40因为cos A＝－＝＝， 22bc2bc所以b＋c＋2bc＝40， 则b＋c＋2bc＝40≥2bc＋2bc， 所以bc≤ 402＋2 ＝20(2－2)， 2 22 2 2 2 2 2 2 3π2→→→→→→ 则AB·AC＝|AB||AC|cos＝－bc≥20(1－2)，所以AB·AC的最小值为20(1－ 422)． [B能力提升练] →→→→ 1．(2018·厦门质检)已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA→→→→→→→→ ＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的( ) A．重心、外心、垂心 C．外心、重心、垂心 B．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 →→→ [解析] 因为|OA|＝|OB|＝|OC|，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O→→→→→→→ 为三角形ABC的外心；由NA＋NB＋NC＝0，得NA＋NB＝－NC＝CN，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；→→→→→→→→→→→→ 由PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，得PA·PB－PB·PC＝PB·CA＝0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心． [答案] C 2．(2018·湖南衡阳第三次联考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的→→→→→→ 两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是( ) A．4 7C. 8 B．8 3D. 4 →→→→ [解析] 因为D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，所以BF＝BD＋DF，CF＝→→－BD＋DF， → BA＝BD＋3DF，CA＝－BD＋3DF. →→→2→2 所以BF·CF＝DF－BD＝－1， →→→→→ → BA·CA＝9DF2－BD2＝4，所以DF2＝，DF2＝， →→→→→→又因为BE＝BD＋2DF，CE＝－BD＋2DF， →→→2→27 所以BE·CE＝4DF－BD＝，故选C. 8[答案] C → 1→→→→→AB3．已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋ t→ |AB| →→→→ 5→8138 →4AC→→ ，则PB·PC的最大值等于______． →|AC| [解析] 建立如图所示坐标系， →?1?→?1?则B?，0?，C(0，t)，AB＝?，0?，AC＝(0，t)， tt???? → →4AC?1?4 AP＝＋＝t?，0?＋(0，t)＝(1,4)， →→?t?t|AB||AC| → AB→→?1?∴P(1,4)，PB·PC＝?－1，－4?·(－t，t－4) ?t? ?1?＝17－?＋4t?≤17－2 ?t? [答案] 13 1 ·4t＝13. t4．(2017·课标Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相→→→ 切的圆上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( ) A．3 C.5 [解析] 如图所示，建立平面直角坐标系 B．22 D．2 设A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，P(x，y)， 根据等面积公式可得圆的半径r＝ 2， 5 4→22 即圆C的方程是(x－2)＋y＝，AP＝(x，y－1)， 5→ AB＝(0，－1)，AD＝(2,0)，若满足AP＝λAB＋μAD， ??x＝2μ即? ?y－1＝－λ? →→→→ x，μ＝，λ＝1－y， 2 x所以λ＋μ＝－y＋1，设z＝－y＋1， 22即－y＋1－z＝0， 2 422 点P(x，y)在圆(x－2)＋y＝上， 5所以圆心到直线的距离d≤r，即 |2－z|2 ≤， 15＋14 xx解得1≤z≤3，所以z的最大值是3， 即λ＋μ的最大值是3，故选A. [答案] A 5．(2018·青岛模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又π??点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)?0≤θ≤?. 2?? →→→→ (1)若AB⊥a，且|AB|＝5|OA|，求向量OB； →→→ (2)若向量AC与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求OA·OC. →→ [解] (1)由题设知AB＝(n－8，t)，∵AB⊥a， →→ ∴8－n＋2t＝0.又∵5|OA|＝|AB|， ∴5×64＝(n－8)＋t＝5t，得t＝±8. 当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8， →→ ∴OB＝(24,8)或OB＝(－8，－8)． → (2)由题设知AC＝(ksin θ－8，t)， → ∵AC与a共线，∴t＝－2ksin θ＋16， 2 2 2 tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ 4?232?＝－2k?sin θ－?＋. ?k? k4 ∵k>4，∴0<<1， k432 ∴当sin θ＝时，tsin θ取得最大值. kk32π→ 由＝4，得k＝8，此时θ＝，OC＝(4,8)， k6→→ ∴OA·OC＝(8,0)·(4,8)＝32. [C尖子生专练] (2018·云南省昆明三中第三次综合测试)已知m＝(2cos x,1)，n＝(cos x，sin 2x＋ a)，f(x)＝m·n. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； ?3π?(2)当x∈?0，?时，f(x)的最大值为2，且在此范围内，关于x的方程f(x)＝k恰 8?? 有2个解，确定a的值，并求k的范围． [解] (1)f(x)＝2cosx＋sin 2x＋a π??＝cos 2x＋sin 2x＋a＋1＝2sin?2x＋?＋a＋1， 4?? 2 2π ∴该函数的最小正周期为：T＝＝π. 2ππ?π? 令2x＋∈?2kπ－，2kπ＋?，k∈Z； 22?4?πππ 2kπ－<2x＋<2kπ＋ 242 kπ－π 33??∴f(x)的单调增区间为?kπ－π，kπ＋π?(k∈Z) 88??33ππ (2)∵0≤x≤π，0≤2x≤π，≤2x＋≤π， 8444π??2x＋0≤sin?≤1，∴f(1)最大值为2＋a＋1＝2， 4???∴a＝－1. π??因此，f(x)＝2 sin?2x＋?，要使f(x)＝k 4?? 3 8π8 ?3π?在x∈?0，?时，恰有两解． 8?? 符合图象知，k∈?f? ? ?π??，f???即k∈[1，2) ?8?? ∴实数k的取值范围为[1，2)．