数 学 M单元 推理与证明
M1 合情推理与演绎推理 8．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
8．B [解析] 假设A、B两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即 3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．
20．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(an，bn)，记 T1(P)＝a1＋b1，Tk(P)＝bk＋max{Tk－1(P)，a1＋a2＋…＋ak}(2≤k≤n)，
其中max{Tk－1(P)，a1＋a2＋…＋ak}表示Tk－1(P)和a1＋a2＋…＋ak两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；
(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；
(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)
20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，
T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．
当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.
因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.
因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．
(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 15．、[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．
15．6 [解析] 若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确；
若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.
若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；
若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；
综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 19．、[2014·广东卷] 设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值； (2)求数列{an}的通项公式． 14．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；[来源:学。科。网Z。X。X。K] 丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
14．A [解析] 由于甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A城市．
14．[2014·陕西卷] 观察分析下表中的数据： 多面体 三棱柱 五棱锥[来源:学科网ZXXK] 立方体 面数(F) 5 顶点数(V) 6 棱数(E) 9 6 6 10 6 8 12 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
14．F＋V－E＝2 [解析] 由题中所给的三组数据，可得5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V、面数F及棱数E所满足的等式是F＋V－E＝2.
M2 直接证明与间接证明 4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A. 方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B. 方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根 C. 方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根 D. 方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
4．A [解析] “方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x2＋ax＋b＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”．故选A.
M3 数学归纳法 21．、、[2014·安徽卷] 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*. (1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；
p－11c－p1
(2)数列{an}满足a1＞c，an＋1＝an＋a1n，证明：an＞an＋1＞c. pppp
21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．
①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立． ②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．
＋
当p＝k＋1时，(1＋x)k1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x. 所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立． 1
(2)方法一：先用数学归纳法证明an>c. p1
①当n＝1时，由题设知a1>c成立．
p②假设
n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式
ak>c成立．
1p
p－1c－p
由an＋1＝an＋a1易知an>0，n∈N*.
ppn
ak＋1p－1c－p
当n＝k＋1时，＝＋ak＝[来源:学科网ZXXK]
akpp1c?1＋?p－1. a?p?k
111c
－1?<0. 由ak>c>0得－1<－
ak＋1??1?c?>1＋p· 1?cp－1?＝cp. 由(1)中的结论得?＝1＋p?ap－1????akp?akk?ak??1
因此apk＋1>c，即ak＋1>c， p
1
所以当n＝k＋1时，不等式an>c也成立．
p
1
综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>c均成立．
pan＋1an＋11c?再由＝1＋?<1， p－1可得anp?an?an即an＋1 1 综上所述，an>an＋1>c，n∈N*. p p－1c1－p1 方法二：设f(x)＝x＋x，x≥c，则xp≥c， ppp所以f′(x)＝ p－1cp－1?c－ 1－p?>0. ＋(1－p)xp＝ ppp?x?p p 1111 由此可得，f(x)在[c，＋∞)上单调递增，因而，当x>c时，f(x)>f(c)＝c. pppp1 ①当n＝1时，由a1>c>0，即ap1>c可知 p p－11cc1－p11??a2＝a1＋a1＝a1?1＋p?p－1