高考数学理科(真题)分类汇编:M单元 推理与证明

数 学 M单元 推理与证明

M1 合情推理与演绎推理 8.[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )

A.2人 B.3人 C.4人 D.5人

8.B [解析] 假设A、B两位学生的数学成绩一样,由题意知他们语文成绩不一样,这样他们的语文成绩总有人比另一个人高,语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”,与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此,没有任意两位学生数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种,因而学生数量最大为3,即 3位学生的成绩分别为(优秀,不合格)、(合格,合格)、(不合格,优秀)时满足条件.

20.[2014·北京卷] 对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记 T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),

其中max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk-1(P)和a1+a2+…+ak两个数中最大的数. (1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;

(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P′:(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小;

(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)

20.解:(1)T1(P)=2+5=7,

T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8. (2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d}, T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}.

当m=a时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.

因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P′). 当m=d时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.

因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P′). 所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P′)都成立.

(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小, T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52. 15.、[2014·福建卷] 若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:

①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是________.

15.6 [解析] 若①正确,则②③④不正确,可得b≠1不正确,即b=1,与a=1矛盾,故①不正确;

若②正确,则①③④不正确,由④不正确,得d=4;由a≠1,b≠1,c≠2,得满足条件的有序数组为a=3,b=2,c=1,d=4或a=2,b=3,c=1,d=4.

若③正确,则①②④不正确,由④不正确,得d=4;由②不正确,得b=1,则满足条件的有序数组为a=3,b=1,c=2,d=4;

若④正确,则①②③不正确,由②不正确,得b=1,由a≠1,c≠2,d≠4,得满足条件的有序数组为a=2,b=1,c=4,d=3或a=3,b=1,c=4,d=2或a=4,b=1,

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