第一章 极限、连续与间断
本章主要知识点
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求极限的几类主要题型及方法 连续性分析 间断判别与分类
连续函数的介值定理及应用
一、求极限的七类题型
这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。
（1）题型I limPm?x?
x???P?x?n 方法：上下同除以x的最高次幂 例．lim3x?1?3x?1x?1?x?1x??
解：原式=lim3x?1?3x?1x?1?x?123?=limx??x??11?3?xx=3 111??1?xx例．lim(4x?x?1?2x)
x???解：原式=lim?x?14x?x?1?2x2x???=limx???11x=? 4114??2?2xx?1?4x?3x?2x例．limx
x???4?3x?2x311?()x?()x42=1 解：原式=limx???311?()x?()x42（2）题型II limx?apm(x) pn(x)pm(a)?,?pn(a)??原式=??,?上下分解因式(或洛比达）,???例．limpn?a??0pn(a)?0,pm(a)?0 pn(a)?pm(a)?0x?1x?16x?13
u3?1(u?1)(u2?u?1)3?lim解：令u?x，原式=lim2＝
u?1u?1u?1(u?1)(u?1)2ax2?2x?b?2 例. lim2x?1x?3x?2解：a+2+b=0,
ax2?2x?(a?2)(x?1)(ax?a?2)?lim??2a?2?2 原式=lim(x?1)(x?2)(x?1)(x?2) a=2,b=-4 （3）题型III
若limf(x)?0，g(x)有界?limf(x)g(x)?0
x?ax?a例. limx2arccot(sin(x?1))
x???x2?3x2＝0，而arccot(sin(x?1))有界，所以 原式＝0。 2x???x?32解：因为 lim例．limln(1?tanx)cos()
x?02x解：因为 ln(1?tanx)?0（x?0），cos()有界，所以 原式＝0．
22x例．limx???x?xsin2006(sin(2006x))
x?11?x1?1x1x3解 因为 limx??x?x?limx??x?1?0，sin2006(sin(2006x))有界；原式＝0。
1（4）题型IV lim(1uu?0?u)?e
识别此类题型尤为重要，主要特征为1?未定式．步骤如下： 例．limx?23x?2x??(x?1) ?3?x?1??解：原式＝lim(1??3(3x?2)＝???3?1??3??x?1(3x?2)x??x?1)limx??
?x?????1???＝exlim?3(3x?2)??x?1?e?9．
例．limx2?5x?12xx??(x2?2x?3)?1 ?3x?2?2?3xx2?2x?3?2x?3(2x?1)解：原式＝lim??3x?2??x?3x?2)(2x?1)x???????＝exlim(??x2?2x?3?e?6
??1??2?x2?2x?3????1例．lim2xx?0(1?xsinx)
??1?x2sin(x)1x解：原式=limx?0??(1?x2sinx)x2sinx??1
????（5）题型V 等价无穷小替换
替换公式：(x?0)1?cosx~12x2 arcsinx~x arctanx~x n1?x?1~1nxex?1~x
替换原则：乘除可换，加减忌换。
例．limsinx?xx?0x3
错解：limx?xx?0x3=0
例．limln(1?2x)sin(5x)x?0x2
e2?1解：原式=lim?2x?5xx?0x2=-20 2ln(1?x)~x