2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）已知当x?0时，f?x??3sinx?sin3x与cx是等价无穷小，则（ ）
k（A）k=1, c =4 （B） k=1,c =?4 （C） k=3,c =4 （D） k=3,c =?4 【答案】 （C）
【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式 【难易度】★★★ 【详解】
解析：方法一：当x?0时，sinxx
lim3sinx?sin3x3sinx?sinxcos2x?cosxsin2xx?0cxk?limx?0cxk ?limsinx?3?cos2x?2cos2x??lim3?cos2x?2cos2xx?0cxkx?0cxk?1 ?lim3??2cos2x?1??2cos2xx?0cxk?1?lim4?4cos2x4sin2xx?0cxk?1?limx?0cxk?1 ?lim4x?0cxk?3?1?c?4,k?3，故选择（C）.
方法二：当x?0时，sinx?x?x33!?o(x3) f(x)?3sinx?sin3x?3[x?x3(3x)333!?o(x)]?[3x?3!?o(x3)]
?4x3?o(x3)故c?4,k?3，选（C）.
（2）已知函数f?x?在x=0处可导，且f?0?=0，则limx2f?x??2f?x3?x?0x3= （ ）
（A） ?2f??0? （B） ?f??0? （C） f??0? （D） 0. 【答案】（B）
【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】
1
解析：limx?0x2f?x??2f?x3?x3?f?x??f?0?f?x3??f?0??? ?lim??23x?0xx?????f??0??2f??0???f??0?.
故应选（B）
（3）设?un?是数列，则下列命题正确的是 （ ） （A）若
?un?1??n收敛，则
?(un?1??2n?1?u2n)收敛 （B）若?(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛
n?1?n?1???（C） 若
?un?1n收敛，则
?(un?12n?1?u2n)收敛 （D）若?(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛
n?1n?1【答案】（A）
【考点】级数的基本性质 【难易度】★★ 【详解】 解析：由于级数
?(un?1?2n?1?u2n)是级数?un经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当?un收
n?1n?1??敛时，
?(un?1?2n?1?u2n)也收敛，故（A）正确.
???（4）设I??40nlnsixdxJ?，
?40lncotxdx，K??4lncosxdx，则I,J,K的大小关系是（ ）
0（A） I?J?K （B） I?K?J （C） J?I?K （D） K?J?I
【答案】（B）
【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★ 【详解】
解析：如图所示，因为0?x??4时，
π/4 0?sinx??2?cosx?cotx，因此lnsinx?lncosx?lncotx 2???4lnsinxdx?0?4lncosxdx?0?4lncotxdx，故选（B）
0（5）设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩
2
?100??100?????阵，记P1??110?，P2??001?，则A= （ ）
?001??010??????1?1（A） P1P2 （C） P2P1 1P2 （B） P1 （D） P2P【答案】（D）
【考点】矩阵的初等变换 【难易度】★★ 【详解】
解析：由初等矩阵与初等变换的关系知AP1?B，P2B?E，
?1?1?1?P2?1P?P2P所以A?BP111，故选（D）
（6）设A为4?3矩阵，?1,?2,?3是非齐次线性方程组Ax??的3个线性无关的解，k1,k2为任意常数，则Ax??的通解为（ ） （A）
?2??322???3???（C） 2?k1(?2??1)?k2(?3??1) （D） 23?k1(?2??1)?k2(?3??1)
22【答案】（C）
【考点】线性方程组解的性质和解的结构；非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】
?k1(?2??1)
（B）
?2??3?k1(?2??1)
?3??1,?2??1为Ax?0的解，解析：因为?1,?2,?3线性无关，故?3??1,?2??1线性无关，为Ax??的解，故Ax??的通解为
?2??32?2??32
?k1(?3??1)?k2(?2??1)所以应选（C）.
（7）设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是 （ ）
（A）f1(x)f2(x) （B）2f2(x)F1(x)
（C）f1(x)F2(x) （D）f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x) 【答案】（D）
【考点】连续型随机变量概率密度 【难易度】★★ 【详解】
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