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1.5 函数y=Asin（ωx＋φ）的
图象（一）
学习目标 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝
Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.
知识点一 φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响 思考1 如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？ 答案 向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位. 思考2 如何由y＝sin x的图象变换得到y＝sin(x＋π
答案 向左平移个单位.
6
梳理 如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的.
π
)的图象？ 6
知识点二 ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
1
思考1 函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别是什么？
2答案 2π，π，4π.
思考2 当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？
1
答案 当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin
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x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍. 2
思考3 函数y＝sin ωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？ 答案 可以，只要“伸”或“缩”y＝sin x的图象即可.
梳理 如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有1
点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
ω
知识点三 A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
1
思考 对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝sin x的函数值有何关系？
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答案 对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函
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数值是y＝sin x的函数值的.
2
梳理 如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0 知识点四 函数y＝sin x的图象与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象关系 正弦曲线y＝sin x到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程： y＝sin x的图象 向左?φ＞0?或向右?φ＜0?――――――――――――→ y＝sin(x＋φ)的图象平移|φ|个单位长度 w所有点的横坐标变为原来的1倍 ――――――――――――→纵坐标不变 y＝sin(ωx＋φ)的图象 所有点的纵坐标变为原来的A倍 ――――――――――――→y＝横坐标不变 Asin(ωx＋φ)的图象. 类型一 平移变换 ?π?例1 函数y＝sin?x－?的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 6?? 中小学最新教育资料 中小学最新教育资料 π?π?解 函数y＝sin?x－?的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位 6?6?长度而得到的. 反思与感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数.再观察 x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减， φ 且从ωx→ωx＋φ的平移量为||个单位. ω π??跟踪训练1 要得到y＝cos?2x－?的图象，只要将y＝sin 2x的图象( ) 4??π A.向左平移个单位 8π B.向右平移个单位 8π C.向左平移个单位 4π D.向右平移个单位 4答案 A π??π??解析 y＝sin 2x＝cos?－2x?＝cos?2x－? 2??2??π?π?π??????x－x－2＝cos?2??－. ??＝cos??8?4?4??????? ??π?π?若设f(x)＝sin 2x＝cos?2?x－?－?， 8?4??? π?π?π??则f?x＋?＝cos?2x－?，所以向左平移个单位. 8?4?8??类型二 伸缩变换 1?π?例2 将函数y＝sin?x＋?的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到 3?2?的函数解析式为________. π??答案 y＝sin?2x＋? 3?? 反思与感悟 横向伸缩变换，只变ω，φ不发生变化. π 跟踪训练2 将函数y＝sin(x－)图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可 3得到函数__________的图象. 1π 答案 y＝sin(x－) 53中小学最新教育资料