第2讲 数系的扩充与复数的引入
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( ) 12
A. B. C.2 D．2 22答案 C
2i解析 解法一：由(1＋i)z＝2i，得z＝＝1＋i，
1＋i∴|z|＝2.故选C. 解法二：∵2i＝(1＋i)2，
∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)，得z＝1＋i，∴|z|＝2.故选C. 2．[2018·湖南模拟]已知
1－i
2
2
z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 答案 D 解析 由
1－i
2
z1－i
＝1＋i，得z＝
1＋i
2
＝
－2i
＝ 1＋i
－2i1－i
＝－1－i.
1＋i1－i
3．[2018·江西模拟]已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋isin37°，则z1·z2为( )
13
A.＋i 2213
C.－i 22答案 A
解析 z1·z2＝(cos23°＋isin23°)·(cos37°＋isin37°)＝cos60°＋isin60°＝＋
3
i.故选A. 2
4．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝( ) A．1＋i 4C．1＋i
5答案 B
解析 因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，
34B.＋i 554D．1＋i
3
12
B.D.31＋i 2231－i 22
z1z2
z12＋i2＋i所以＝＝
z22－i5
复数为( )
2
34
＝＋i.故选B. 55
3
5．[2018·天津模拟]已知复数z满足(i－1)(z－i)＝2i(i为虚数单位)，则z的共轭A．i－1 B．1＋2i C．1－i D．1－2i 答案 B
2i－2i1＋i3
解析 依题意可得z＝＋i＝－i＝－(i－1)－i＝1－2i，其共轭
i－11－i1＋i复数为1＋2i，故选B.
6．已知a为实数，若复数z＝(a－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则A．1 B．0 C．1＋i D．1－i 答案 D
1＋i
解析 z＝(a－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则有a－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，则有
1＋i
2
2
2016
2
a＋i2016
1＋i
＝( )
＝
1＋121－i
＝＝1－i，选D. 1＋i1＋i1－i
22
7．[2018·郴州模拟]设z＝1－i(i是虚数单位)，若复数＋z在复平面内对应的向量为
z→
OZ，则向量OZ的模是( )
A．1 B.2 C.3 D．2 答案 B
解析 z＝1－i(i是虚数单位)，
22221＋i2复数＋z＝＋(1－i)＝－2i＝1－i.
z1－i1－i1＋i→2
向量OZ的模：1＋－18．[2018·温州模拟]满足1i答案 －
22
解析 由已知得z＋i＝zi，则z(1－i)＝－i， －i－i1＋i1－i1i即z＝＝＝＝－.
1－i1－i1＋i222
9．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________. 1－i答案
5
2
→
＝2.故选B.
z＋i
＝i(i为虚数单位)的复数是________． za解析 ∵a，b∈R，且
??a＝1－b，???0＝1＋b，
a1－i
＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴
??a＝2，
∴???b＝－1，
∴|a＋bi|＝|2－i|＝2＋－1________，ab＝________.
答案 5 2
解析 (a＋bi)＝a－b＋2abi.
2
2
2
2
2
22
＝5.
2
2
2
10．[2017·浙江高考]已知a，b∈R，(a＋bi)＝3＋4i(i是虚数单位)，则a＋b＝
??a－b＝3，2
由(a＋bi)＝3＋4i，得?
?ab＝2.?
解得a＝4，b＝1.
22
所以a＋b＝5，ab＝2.
[B级 知能提升]
1．[2018·成都模拟]已知复数z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为 z，则|z|＝( )
A.5 B．5 C．25 D．217 答案 A
解析 复数z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A(2,6)，B(0，－2)，线段AB的中点C(1，2)对应的复数为z＝1＋2i，则|z|＝1＋2＝5.故选A.
2．[2017·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题
1
2
2
22
p1：若复数z满足∈R，则z∈R； zp2：若复数z满足z2∈R，则z∈R； p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2； p4：若复数z∈R，则z∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)． 11a－bi
对于p1，若∈R，即＝2∈R，则b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．
za＋bia＋b2对于p2，若z∈R，即(a＋bi)＝a＋2abi－b∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋
2
2
2
2
bi＝bi∈/ R，所以p2为假命题．
对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1
＝0.而z1＝z2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0?/ a1＝a2，b1＝－
b2，所以p3为假命题．
对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0?z＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.
3．[2018·厦门模拟]已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝3，则的最大值为________．
yx