数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d，
推论公式： ，
等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y, 等差数列前n项和：Sn?性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；（下标和定理） 注意：要求等式左右两边项数相等 （2）数列?a2n?1?,?a2n?,?a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d； （3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d； （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则
amS2m?1?； bmT2m?1
?a1?an?n?na21?n?n?1?d 22（5）?an?为等差数列?Sn?an?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）
2Sn的最值可求二次函数Sn?an?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项，
?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.
a?0?n?1?an?0a?0，d?0当1，由?可得Sn达到最小值时的n值.
?an?1?0 (6)项数为偶数2n的等差数列?an?，有
S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项) S偶?S奇?nd，
S奇S偶?an. an?1，
有S2n?1?(2n?1)an(an为中间项),
（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an? S奇?S偶?an， .
S奇S偶?n n?12. 等比数列的定义与性质
定义：
an?1 ?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1 且 .推论公式：an2?G?xy，或G??xy等比中项：x、G、y成等比数列
.等比数列中奇数项同号，偶数项同号
等比数列前n项和公式：
性质：?an?是等比数列
·an?ap·aq(下标和定理) 注意：要求等式左右两边项数相等。 （1）若m?n?p?q，则am
（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn。
. （3）?an?是正项等比数列，则 是等比数列。
注意：由Sn求an时应注意什么？
n?1时，a1?S1； n?2时，an?Sn?Sn?1
.
3.求数列通项公式的常用方法
（1)定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列）
?s1(n?1)Sn与n的关系sn与an的关系时求an已知a?（2）或，。 n?s?s(n?2)
?nn?1例： 数列的前项和．求数列的通项公式;
解：当时
，
当时
数列的通项公式为．
练习：设数列的前项和为，且．求数列
的通项公式。
（3）求差（商）法
111例：数列?an?，a1?2a2?……?nan?2n?5，求an
2221 解：n?1 时，a1?2?1?5，∴a1?14
2111a1?2a2?……?nan?2n?5 ① 222 111n?2a?a?……?an?1?2n?1?5 ② 时， 12 2222n?1?14(n?1)1n?1① —②得：nan?2，∴an?2，∴an??n?1
2?2(n?2) 练习：在数列 中， ，
, 求数列 的通项公式。
(4)累乘法
形如
的递推式
a，n?1?f(n) an由
an?1aa?f(n)，则2?f(1)，3?f(2)，ana1a2nan?1?a1??f(k) 两边分别相乘得，a1k?1