考点跟踪突破23 特殊的平行四边形
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2014·枣庄)如图，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝3，则四边形AECF的周长为( A )
A．22 B．18 C．14 D．11
2．(2014·丽水)如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是( B )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．等腰梯形
3．(2014·山西)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为( D )
2154A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 34994．(2014·呼和浩特)已知矩形ABCD的周长为20 cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于点E，F(不与顶点重合)，则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为( B )
A．△CDE与△ABF的周长都等于10 cm，但面积不一定相等 B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10 cm C．△CDE与△ABF全等，且周长都为5 cm
D．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定
5．(2014·宜宾)如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An
分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( B )
1－1
A．n B．n－1 C．()n1 D.n
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二、填空题(每小题6分，共30分)
6．(2014·铁一中模拟)如图，已知：四边形ABCD的面积为60 cm2，点E，F，G，H分别为四边形各边中点，则四边形EFGH的面积为__30__cm2.
7．(2014·毕节)将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为__70__度．
8．(2014·金华)如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G.若点G是CD的中点，则BC的长是__7__．
9．(2013·钦州)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是__10__．
,第9题图) ,第10题图)
10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋3.
其中正确的序号是__①②④__．(把你认为正确的都填上) 三、解答题(共40分) 11．(10分)(2013·白银)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.
(1)BD与CD之间有什么数量关系，并说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
?
＝DE，在△AEF和△DEC中，?∠AEF＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC，
?AE＝DE，
解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE
∠AFE＝∠DCE，
∵AF＝BD，∴BD＝CD (2)当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴?AFBD是矩形
12．(10分)(2014·临夏州)点D，E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB，AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.
(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由．)
1
解：(1)证明：∵点D，E分别是AB，AC边的中点，∴DE∥BC，且DE＝BC，同理，
2
1
GF∥BC，且GF＝BC，∴DE∥GF且DE＝GF，∴四边形DEFG是平行四边形
2
(2)解：当OA＝BC时，平行四边形DEFG是菱形
13．(10分)(2014·梅州)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.
(1)求证：CE＝CF；
(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
解：(1)证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF
(2)解：GE＝BE＋GD成立．理由是：∵由(1)得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF.∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD
14．(10分)(2013·呼和浩特)如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE＝1，∠AEP＝90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F.
FC10(1)的值为____； EF10(2)求证：AE＝EP；
(3)在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D，∵∠AEP＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，
BEFCFC10
在Rt△ABE中，AE＝32＋12＝10，∵sin∠BAE＝＝sin∠FEC＝，∴＝ AEEFEF10
(2)在BA边上截取BK＝BE，连接KE，∵∠B＝90°，BK＝BE，∴∠BKE＝45°，∴∠AKE＝135°，∵CP平分外角，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AKE＝∠ECP，∵AB＝CB，BK＝BE，∴AB－BK＝BC－BE，即AK＝EC，易得∠KAE＝∠CEP，∵在△AKE
∠KAE＝∠CEP，
?
和△ECP中，?AK＝EC，∴△AKE≌△ECP(ASA)，∴AE＝EP
?∠AKE＝∠ECP，