高中数学-放缩法、几何法、反证法练习
一、选择题
1．实数a，b，c不全为0的等价条件是( ) A．实数a，b，c均不为0 B．实数a，b，c中至多有一个为0 C．实数a，b，c中至少有一个为0 D．实数a，b，c中至少有一个不为0
解析：实数a，b，c不全为0的含义是实数a，b，c中至少有一个不为0. 答案：D
2．设x>0，y>0，M＝x＋y2＋x＋y，N＝x2＋x＋y2＋y，则M，N的大小关系是( )
A．M >N B．M D．不能确定 解析：N＝x2＋x＋y2＋y＞xyx＋y2＋x＋y＋2＋x＋y＝2＋x＋y＝M. 答案：B 3．已知x＝a＋1a?1?2?2 －2(a＞2)，y＝??? b－2(b＜0)，则x，y之间的大小关系是( A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．不能确定 解析：易得x＝a－2＋ 1 a－2 ＋2≥2＋2＝4(a＞2)， 而b2 －2＞－2(b＜0)，即y＝??1?2??2?b－2＜??1?2??－2? ＝4， 所以x＞y. 答案：A 4．设M＝1111 210＋210＋1＋210＋2＋…＋211－1，则( ) A．M＝1 B．M＜1 C．M ＞1 D．M与1大小关系不定 解析：M＝111 210＋210＋1＋…＋211－1 < ) 1 110 ＝2×10＝1. 2 答案：B 二、填空题 5．若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，______________________． 解析：由a＞b＞0，m＞0，n＞0，知 abbab＋ma＋n，，按由小到大的顺序排列为a＋mb＋nbb＋mbb＋n＜＜1且＜＜1. aa＋maa＋n则＞aa＋na＋na＞1，即1＜＜. bb＋nb＋nbbb＋ma＋na＜＜ aa＋mb＋nb12a， 12a＋1 ， 1 答案：＜6．已知a∈(0，＋∞)，则_____________________． a＋a＋1 从大到小的顺序为 解析：∵a＋a＋1＞a＋a＝2a， a＋a＋1＜a＋1＋a＋1＝2a＋1， ∴2a＜a＋a＋1＜2a＋1. ∴ 12a＞12a1＞. a＋a＋12a＋1＞ 1＞ a＋a＋12a＋111 答案： 三、解答题 7．已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋n)·3. 求证：2＋2＋…＋2＞3. 12n证明：当n＝1时，2＝a1＝S1＝6＞3； 1当n＞1时， 2 na1a2anna1 a1a2 2＋2＋…＋2 12nanS1S2－S1S3－S2Sn－Sn－1＝2＋2＋2＋…＋ 123n2 2 ?11??11??＝?2－2?S1＋?2－2?S2＋…＋??12??23?? Snn2＋nnn＞2＝2·3＞3. nn1 n－1 1?Sn－22?Sn－1＋2 n? n所以当n≥1时，2＋2＋…＋2＞3. 12n1 8．设函数f(x)定义在区间(0，＋∞)上，且f(1)＝0，导函数f′(x)＝，函数g(x) a1a2annx＝f(x)＋f′(x)． (1)求函数g(x)的最小值； 1 (2)是否存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0恒成立？若存在，请求 x出x0的取值范围；若不存在，请说明理由． 1 解：(1)由题设，易知f(x)＝ln x，g(x)＝ln x＋. x∴g′(x)＝ x－1 .令g′(x)＝0，得x＝1. x2 当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故区间(0,1)是函数 g(x)的单调递减区间； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故区间(1，＋∞)是函数g(x)的单调递增区间． ∴函数g(x)的最小值为g(1)＝1. (2)满足条件的x0不存在．理由如下： 1 假设存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0恒成立． x由(1)，知函数g(x)的最小值为g(1)＝1. ∴当x≥1时，函数g(x)的值域为[1，＋∞)， 从而可取一个x1＞1，使g(x1)≥g(x0)＋1， 即g(x1)－g(x0)≥1. 1 故|g(x1)－g(x0)|≥1＞，与假设矛盾． x1 1 ∴不存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0恒成立． x 一、选择题 1．lg 9lg 11与1的大小关系是( ) A．lg 9lg 11＞1 C．lg 9lg 11＜1 B．lg 9lg 11＝1 D．不能确定 3 解析：因为lg 9＞0，lg 11＞0，且lg 9≠lg 11， 所以lg 9lg 11＜?答案：C 2．若|a|＜1，|b|＜1，则( ) A．?C．? ?lg 9＋lg 11?2＝?lg 99?2＜?lg 100?2＝1. ??2??2?2?????? ?a＋b?＝1 ??1＋ab??a＋b?≤1 ??1＋ab? ?a＋b?≥1， ??1＋ab? 22 B．?D．? ?a＋b?＜1 ??1＋ab??a＋b?≥1 ??1＋ab? 解析：假设? 则|a＋b|≥|1＋ab| ?a＋b＋2ab≥1＋2ab＋ab 2 2 ?a＋b－1－ab≥0 2 2 22 ?a(1－b)－ (1－b)≥0 2 2 2 ?(a－1)(1－b)≥0. 2 2 由上式，知a－1≤0,1－b≤0或a－1≥0,1－b≥0. 与已知矛盾，故?答案：B 二、填空题 3．若直线y＝x＋m与曲线x＝1－y恰有一个公共点，则实数m的取值范围是______________. 解析： 2 2222 ?a＋b?＜1. ??1＋ab? 如图所示，曲线x＝1－y 是半圆(x≥0)， 2 A(1,0)，B(0，－1)，C(0,1)，kAB＝1，这时直线AB在y轴上的截距为－1(m≠－1)， 往上平移至C点时适合题意(m＝1)，往下平移至相切时在y轴上的截距为－2， 所以直线y＝x＋m与曲线x＝1－y 恰有一个公共点时，实数m的取值范围是{m|－1＜m≤1或m＝－2}． 答案：{m|－1＜m≤1或m＝－2} 4 2 4．完成下列反证法证题的全过程． 题目：设a1，a2，…，a7是1,2,3，…，7的一个排列， 求证：p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数． 证明：假设p为奇数，则____________________均为奇数． 因为奇数个奇数的和还是奇数， 所以奇数＝____________________＝____________________＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数． 解析：假设p为奇数，则(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7) 均为奇数． 因为奇数个奇数的和还是奇数， 所以奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数． 答案：(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7) 三、解答题 ?π?5．已知x1，x2∈?0，?. 2?? 求证：tan x1＋tan x2＞2tan x1＋x2 2 . 证明：不妨设x2＞x1.在单位圆中，过点A作单位圆的切线AT，在AT上取B，C两点，使∠BOA＝x1，∠COA＝x2，取∠DOA＝ x1＋x2 2 ，E为BC的中点． ?π?∵x 1，x2∈?0，?， 2?? ∴|OC|＞|OB|，|AB|＝tan x1，|AC|＝tan x2， |AD|＝tan x1＋x2 2 . |BD||OB| 易得OD是∠BOC的平分线，由三角形内角平分线的性质，得＝. |DC||OC| 5